Proses Poisson Homogen

Proses Poisson homogen menghitung kejadian yang terjadi pada laju rata-rata konstan, dengan jumlah kejadian dalam interval apa pun terdistribusi Poisson dan hitungan dalam interval yang terpisah bersifat independen.

Definition

Proses Poisson homogen dengan laju lambda adalah proses penghitungan yang dimulai dari nol dengan kenaikan stasioner independen di mana jumlah kejadian dalam interval waktu t terdistribusi Poisson dengan rata-rata lambda dikalikan t, atau ekuivalennya, sebuah proses di mana waktu antar-kedatangan adalah variabel acak eksponensial independen dengan laju lambda.

Scope

Topik ini mencakup parameter laju, distribusi Poisson dari hitungan, kenaikan independen dan stasioner, distribusi eksponensial dari waktu antar-kedatangan dan distribusi gamma dari waktu kedatangan, sifat statistik urutan dari waktu kejadian yang dikondisikan pada hitungan, dan sifat tanpa memori yang mendasari hasil-hasil ini.

Core questions

• Bagaimana proses Poisson homogen didefinisikan dan diparameterisasi oleh lajunya?
• Mengapa waktu antar-kedatangan bersifat eksponensial dan independen?
• Bagaimana waktu kedatangan terdistribusi mengingat jumlah kejadian?
• Apa peran sifat tanpa memori?

Key theories

Ekuivalensi deskripsi penghitungan dan antar-kedatangan

Suatu proses penghitungan memiliki kenaikan Poisson dengan kenaikan independen stasioner jika dan hanya jika waktu antar-kedatangan berturut-turutnya adalah eksponensial independen dengan laju yang sama, sehingga proses tersebut dapat dibangun baik dengan menghitung maupun dengan menjumlahkan waktu tunggu.

Sifat statistik urutan

Dikondisikan pada jumlah kejadian dalam suatu interval, waktu kejadian terdistribusi sebagai statistik urutan dari titik-titik seragam independen dalam interval tersebut, yang membuat banyak komputasi dan simulasi kondisional menjadi mudah.

Clinical relevance

Proses Poisson homogen adalah model standar untuk kedatangan dalam antrean, hitungan peluruhan radioaktif, deteksi foton, dan kejadian peristiwa langka, serta berfungsi sebagai mekanisme kedatangan dalam antrean M/M/1 dan M/G/1 dasar dan sebagai model nol keacakan dalam data waktu kejadian.

History

Analisis Bortkiewicz tahun 1898 tentang peristiwa langka dan studi Erlang tahun 1909 tentang lalu lintas telepon menetapkan proses Poisson secara empiris, sementara hitungan partikel alfa Rutherford dan Geiger tahun 1910 memberikan konfirmasi fisik klasik; teori yang ketat kemudian muncul dari studi umum tentang proses dengan kenaikan independen.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• Ernest Rutherford

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Mengapa waktu antar-kedatangan Poisson bersifat eksponensial?

Independensi dan stasioneritas kenaikan memaksa waktu tunggu hingga kejadian berikutnya menjadi tanpa memori, dan satu-satunya distribusi tanpa memori kontinu adalah eksponensial, dengan laju yang sama dengan laju proses.

Apa arti parameter laju?

Laju lambda adalah rata-rata jumlah kejadian per satuan waktu; hitungan yang diharapkan dalam suatu interval adalah lambda dikalikan panjangnya, dan rata-rata waktu antar-kedatangan adalah satu per lambda.