Proses Poisson Inhomogen dan Majemuk

Menggeneralisasi proses Poisson, versi inhomogen memungkinkan laju kejadian bervariasi sepanjang waktu atau ruang, sementara versi majemuk melampirkan ukuran acak independen pada setiap kejadian.

Definition

Proses Poisson inhomogen adalah proses penghitungan dengan penambahan independen yang jumlahnya dalam suatu wilayah berdistribusi Poisson dengan rata-rata yang diberikan oleh integral intensitas non-konstan, dan proses Poisson majemuk adalah jumlah lompatan acak independen yang terdistribusi identik yang terjadi pada kejadian-kejadian dari proses Poisson.

Scope

Topik ini mencakup proses Poisson inhomogen yang didefinisikan oleh fungsi intensitas yang bervariasi dan ukuran rata-rata kumulatif, perubahan waktu yang memetakannya ke proses Poisson standar, proses Poisson majemuk yang dibentuk dengan menjumlahkan ukuran acak independen pada waktu kejadian Poisson, rata-rata, varians, dan fungsi karakteristiknya, serta aplikasi pada risiko asuransi dan derau tembak (shot noise).

Core questions

• Bagaimana fungsi intensitas yang bervariasi menggeneralisasi proses laju konstan?
• Bagaimana proses inhomogen dapat diubah menjadi proses homogen dengan perubahan waktu?
• Bagaimana rata-rata dan varians dari jumlah Poisson majemuk dihitung?
• Bagaimana proses-proses ini memodelkan klaim asuransi dan derau tembak (shot noise)?

Key theories

Perubahan waktu ke Poisson standar

Penskalaan ulang waktu dengan fungsi intensitas kumulatif mengubah proses Poisson inhomogen menjadi proses Poisson standar dengan laju satu, yang mengkarakterisasi proses inhomogen dan menyediakan metode simulasi dengan inversi atau penipisan (thinning).

Distribusi Poisson majemuk

Jumlah lompatan independen yang terdistribusi Poisson memiliki rata-rata dan varians yang dapat diekspresikan melalui distribusi lompatan, dan fungsi karakteristiknya adalah eksponensial dari laju dikalikan fungsi karakteristik lompatan dikurangi satu, yang menghubungkannya dengan hukum-hukum yang dapat dibagi tak terbatas (infinitely divisible laws).

Clinical relevance

Proses Poisson inhomogen memodelkan laju kedatangan yang bervariasi waktu seperti lalu lintas harian atau insiden penyakit musiman, sementara proses Poisson majemuk adalah model klasik klaim asuransi agregat dalam teori risiko Cramer-Lundberg dan derau tembak (shot noise) dalam fisika dan pemrosesan sinyal.

History

Lundberg memperkenalkan model risiko Poisson majemuk pada tahun 1903 dan Cramer mengembangkan teori kehancurannya pada tahun 1930-an, sementara proses Poisson inhomogen dan simulasinya berbasis penipisan (thinning), yang diformalkan oleh Lewis dan Shedler pada tahun 1979, menjadi alat standar untuk memodelkan laju kejadian yang bervariasi waktu.

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Apa perbedaan antara proses Poisson inhomogen dan majemuk?

Proses inhomogen mempertahankan lompatan unit tetapi memungkinkan laju kejadian bervariasi dalam waktu atau ruang, sedangkan proses majemuk mempertahankan jumlah kejadian Poisson tetapi memberikan ukuran acak pada setiap kejadian.

Bagaimana proses Poisson majemuk digunakan dalam asuransi?

Ini memodelkan total klaim sebagai jumlah Poisson dari jumlah klaim independen; agregat yang dihasilkan adalah dasar teori kehancuran klasik, yang mempelajari probabilitas bahwa klaim yang terakumulasi melebihi cadangan.