Proses Poisson dan Titik

Proses titik adalah penyebaran titik secara acak dalam waktu atau ruang; proses Poisson, di mana wilayah-wilayah yang terpisah mengandung hitungan terdistribusi Poisson yang independen, adalah contoh fundamentalnya.

Definition

Proses titik adalah ukuran acak yang menempatkan sekumpulan titik diskrit dalam suatu ruang, dan proses Poisson adalah proses titik di mana jumlah titik di wilayah mana pun terdistribusi Poisson dengan rata-rata yang diberikan oleh ukuran intensitas dan hitungan di wilayah-wilayah yang terpisah bersifat independen.

Scope

Area ini mencakup proses Poisson homogen dan karakterisasinya melalui waktu antar-kedatangan eksponensial independen dan peningkatan independen, proses Poisson tidak homogen dan majemuk, teori umum proses titik sebagai ukuran penghitungan acak, intensitas dan tanda, operasi seperti superposisi, penipisan, dan pemetaan, serta pola titik spasial.

Sub-topics

• Homogeneous Poisson Process
• Inhomogeneous and Compound Poisson Processes
• Spatial Point Processes

Core questions

• Apa yang mendefinisikan proses Poisson dan karakterisasi ekuivalen apa yang menggambarkannya?
• Bagaimana peningkatan independen dan waktu antar-kedatangan eksponensial muncul?
• Bagaimana proses titik diformalkan sebagai ukuran penghitungan acak?
• Bagaimana penipisan, superposisi, dan pemetaan mengubah proses Poisson?

Key theories

Karakterisasi proses Poisson

Proses Poisson homogen secara ekuivalen dijelaskan oleh hitungan Poisson dengan peningkatan independen, oleh waktu antar-kedatangan eksponensial yang independen dan terdistribusi secara identik, dan sebagai proses titik sederhana yang unik dengan peningkatan independen stasioner dan tanpa atom tetap.

Teorema pemetaan, penipisan, dan superposisi

Memindahkan secara independen, menghapus secara acak, atau menggabungkan titik-titik dari proses Poisson kembali menghasilkan proses Poisson dengan ukuran intensitas yang diubah, sebuah ketahanan yang menjadikan proses Poisson model kanonik untuk titik-titik yang sepenuhnya acak.

Clinical relevance

Proses titik memodelkan kedatangan pelanggan, panggilan telepon, peluruhan radioaktif, klaim asuransi, lonjakan neuron, dan lokasi spasial pohon, galaksi, atau kasus penyakit; proses Poisson berfungsi sebagai dasar keacakan spasial lengkap yang menjadi acuan untuk menilai pengelompokan atau keteraturan.

History

Distribusi Poisson muncul dalam karya Poisson tahun 1837 tentang penilaian, proses ini digunakan oleh Erlang sejak tahun 1909 untuk memodelkan lalu lintas telepon dan oleh Bateman serta Rutherford untuk peluruhan radioaktif, dan teori proses titik modern berbasis teori ukuran dikonsolidasikan pada akhir abad kedua puluh oleh Kingman, Daley, dan Vere-Jones.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Apa itu proses Poisson?

Ini adalah model untuk titik-titik yang tersebar sepenuhnya secara acak dalam waktu atau ruang, di mana jumlah titik di wilayah mana pun mengikuti distribusi Poisson dan hitungan di wilayah yang tidak tumpang tindih bersifat independen.

Mengapa proses Poisson begitu banyak digunakan?

Ini adalah model alami keacakan lengkap, dipertahankan di bawah penipisan, superposisi, dan pemetaan, dan muncul sebagai batas setiap kali banyak peristiwa langka independen terakumulasi, menjadikannya dasar yang fleksibel dan mudah dikelola.