रीमानियन मेट्रिक्स और जियोडेसिक्स
एक रीमानियन मेट्रिक मैनिफोल्ड पर लंबाई और कोणों को मापती है, और जियोडेसिक्स वे वक्र हैं जो स्थानीय रूप से लंबाई को न्यूनतम करते हैं — सीधे रेखाओं के वक्र-स्थान अनुरूप।
Definition
एक रीमानियन मेट्रिक प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान को एक धनात्मक-निश्चित आंतरिक उत्पाद प्रदान करती है जो बिंदु पर सुचारू रूप से निर्भर करता है; एक जियोडेसिक एक वक्र है जो स्थानीय रूप से लंबाई को न्यूनतम करता है, या समतुल्य रूप से, जिसकी वेग स्वयं के समानांतर होती है।
Scope
यह विषय रीमानियन मेट्रिक को स्पर्शरेखा स्थानों पर एक सुचारू रूप से भिन्न आंतरिक उत्पाद के रूप में परिभाषित करता है, चाप की लंबाई, कोण और रीमानियन आयतन की परिणामी धारणाओं को, और दूरी फ़ंक्शन को जो एक जुड़े हुए रीमानियन मैनिफोल्ड को एक मेट्रिक स्पेस बनाता है। यह जियोडेसिक्स को लंबाई-न्यूनतम करने वाले वक्रों और जियोडेसिक समीकरण के समाधानों, घातीय मानचित्र और सामान्य निर्देशांक, जियोडेसिक पूर्णता, और हॉफ-रिनो प्रमेय के रूप में विकसित करता है जो पूर्णता को न्यूनतम करने वाले जियोडेसिक्स के अस्तित्व से संबंधित करता है। आइसोमेट्रीज़ और जियोडेसिक्स का भिन्नता संबंधी लक्षण वर्णन भी इसमें शामिल है।
Core questions
- एक मेट्रिक एक चिकने मैनिफोल्ड को एक सु-परिभाषित दूरी के साथ एक मेट्रिक स्पेस में कैसे बदलती है?
- किस अर्थ में जियोडेसिक्स सबसे सीधे और स्थानीय रूप से सबसे छोटे वक्र हैं?
- घातीय मानचित्र एक बिंदु के चारों ओर विहित निर्देशांक कैसे प्रदान करता है?
- जियोडेसिक पूर्णता कब किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम जियोडेसिक्स की गारंटी देती है (हॉफ-रिनो)?
Key concepts
- रीमानियन मेट्रिक, चाप की लंबाई, और आयतन
- रीमानियन दूरी फ़ंक्शन और आइसोमेट्रीज़
- जियोडेसिक समीकरण और लंबाई का न्यूनीकरण
- घातीय मानचित्र और सामान्य निर्देशांक
- जियोडेसिक पूर्णता और हॉफ-रिनो प्रमेय
Clinical relevance
जियोडेसिक्स सापेक्षता में मुक्त कण गति और प्रकाश पथों, आकार स्थानों और रोबोटिक्स में इष्टतम पथों, और घुमावदार सतहों पर सबसे छोटे मार्गों का मॉडल बनाते हैं; मेट्रिक संरचना एक मैनिफोल्ड को एक वास्तविक ज्यामितीय और मेट्रिक-स्पेस वस्तु बनाती है।
History
रीमान ने 1854 में मेट्रिक की शुरुआत की; जियोडेसिक्स का भिन्नता संबंधी अध्ययन 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत में परिपक्व हुआ, और हॉफ-रिनो प्रमेय (1931) ने मेट्रिक और जियोडेसिक पूर्णता की समानता को स्पष्ट किया, जिससे आज पढ़ाए जाने वाले मूलभूत चित्र को पूरा किया गया।
Key figures
- Bernhard Riemann
- Heinz Hopf
- Willi Rinow
Related topics
Seminal works
- lee1997
- docarmo1992
Frequently asked questions
- क्या जियोडेसिक्स हमेशा सबसे छोटे रास्ते होते हैं?
- केवल स्थानीय रूप से। एक जियोडेसिक पर्याप्त रूप से निकट बिंदुओं के बीच की लंबाई को न्यूनतम करता है, लेकिन विश्व स्तर पर दो दूर के बिंदुओं के बीच एक जियोडेसिक सबसे छोटा नहीं हो सकता है — उदाहरण के लिए, एक गोले के चारों ओर लंबे रास्ते से जाने वाला एक बड़ा-वृत्त चाप।
- हॉफ-रिनो प्रमेय क्या गारंटी देता है?
- एक जुड़े हुए रीमानियन मैनिफोल्ड पर, जियोडेसिक पूर्णता, मेट्रिक पूर्णता, और यह गुण कि बंद परिबद्ध सेट सघन होते हैं, सभी समतुल्य हैं, और उनमें से कोई भी यह सुनिश्चित करता है कि बिंदुओं के प्रत्येक जोड़े को एक न्यूनतम जियोडेसिक द्वारा जोड़ा जाता है।