अवकल ज्यामिति
अवकल ज्यामिति चिकने स्थानों — वक्रों, सतहों और मैनिफोल्ड्स — का अध्ययन कैलकुलस के उपकरणों का उपयोग करके करती है, जिसमें वक्रता, स्पर्शरेखा और उन स्थानों पर समाकलन का उपचार किया जाता है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्थान जैसे दिखते हैं लेकिन वैश्विक रूप से घुमावदार हो सकते हैं।
Definition
अवकल ज्यामिति चिकने मैनिफोल्ड्स और उन पर ज्यामितीय संरचनाओं — स्पर्शरेखा स्थान, सदिश क्षेत्र, अवकल रूप और वक्रता — का अध्ययन अवकल और समाकल कैलकुलस का उपयोग करके करती है।
Scope
यह क्षेत्र चिकनी (अवकलनीय) श्रेणी को कवर करता है: मैनिफोल्ड्स और चिकने मानचित्र, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट स्थान, सदिश क्षेत्र और प्रवाह, अवकल रूप और स्टोक्स प्रमेय के माध्यम से समाकलन, और अंतरिक्ष में वक्रों और सतहों की शास्त्रीय ज्यामिति जिसमें प्रथम और द्वितीय मौलिक रूप और गाऊसी वक्रता शामिल हैं। यह मैनिफोल्ड्स पर कैलकुलस प्रदान करता है जिसे रीमानियन ज्यामिति तब एक मीट्रिक से सुसज्जित करती है, और बीजगणितीय टोपोलॉजी के विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय और बीजगणितीय ज्यामिति की बीजगणितीय किस्मों को बाहर करता है।
Sub-topics
Core questions
- एक ऐसे स्थान पर कैलकुलस को आंतरिक रूप से कैसे परिभाषित किया जाता है जो केवल स्थानीय रूप से यूक्लिडियन है?
- एक वक्र, एक सतह और एक सामान्य मैनिफोल्ड के लिए वक्रता का क्या अर्थ है?
- स्टोक्स प्रमेय के माध्यम से अवकल रूप ग्रेडिएंट, कर्ल, डाइवर्जेंस और कैलकुलस के मौलिक प्रमेयों को कैसे एकीकृत करते हैं?
- कौन सी ज्यामितीय मात्राएँ एक सतह के लिए आंतरिक हैं और कौन सी अंतरिक्ष में इसके एम्बेडिंग पर निर्भर करती हैं?
Key concepts
- चिकने मैनिफोल्ड्स और एटलस
- स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट स्थान, सदिश क्षेत्र और प्रवाह
- अवकल रूप, बाहरी व्युत्पन्न और स्टोक्स प्रमेय
- एक सतह के प्रथम और द्वितीय मौलिक रूप
- गाऊसी और माध्य वक्रता
Clinical relevance
अवकल ज्यामिति सामान्य सापेक्षता, गेज सिद्धांत और सातत्य यांत्रिकी की गणितीय भाषा है, और चिकने-मैनिफोल्ड ढाँचे की आपूर्ति करती है जिस पर रीमानियन ज्यामिति, वैश्विक विश्लेषण और गणितीय भौतिकी का अधिकांश भाग निर्मित होता है।
History
यूलर और गॉस के वक्रों और सतहों के अध्ययन से विकसित होकर — गॉस का थियोरेमा एग्रेगियम (1827) यह दर्शाता है कि वक्रता आंतरिक है — इस विषय को रीमान द्वारा मनमाने आयामों तक सामान्यीकृत किया गया और कार्टन द्वारा अवकल रूपों और गतिशील फ़्रेमों की भाषा में फिर से ढाला गया जो आधुनिक उपचार को आकार देता है।
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Bernhard Riemann
- Élie Cartan
Related topics
Seminal works
- docarmo1976
- lee2012
Frequently asked questions
- अवकल ज्यामिति और टोपोलॉजी में क्या अंतर है?
- टोपोलॉजी निरंतर विरूपण के तहत संरक्षित गुणों का अध्ययन करती है, चिकनाई और दूरी की उपेक्षा करती है; अवकल ज्यामिति एक चिकनी संरचना और अक्सर एक मीट्रिक जोड़ती है, जिससे कोई वक्रता, लंबाई और कोणों को माप सकता है।
- गॉस का थियोरेमा एग्रेगियम क्या है?
- यह बताता है कि एक सतह की गाऊसी वक्रता आंतरिक होती है — यह केवल सतह के भीतर मापी गई दूरियों पर निर्भर करती है, न कि इस बात पर कि सतह अंतरिक्ष में कैसे स्थित है — इसलिए एक घुमावदार सतह के एक सपाट मानचित्र को दूरियों को विकृत करना चाहिए।