स्पर्शरेखा समष्टि और सदिश क्षेत्र

स्पर्शरेखा समष्टि एक मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर वेगों की एक सदिश समष्टि संलग्न करती है, और एक सदिश क्षेत्र मैनिफोल्ड में ऐसे वेग को सुचारू रूप से निर्दिष्ट करता है, जो प्रवाह और अतिसूक्ष्म समरूपताओं को एन्कोड करता है।

Definition

एक सुचारु मैनिफोल्ड के एक बिंदु पर स्पर्शरेखा समष्टि उस बिंदु से गुजरने वाले वक्रों के वेग सदिशों की सदिश समष्टि है (समतुल्य रूप से, बिंदु पर सुचारु फलनों की व्युत्पत्तियाँ); एक सदिश क्षेत्र प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा सदिश का एक सुचारु असाइनमेंट है, अर्थात स्पर्शरेखा बंडल का एक खंड।

Scope

यह विषय स्पर्शरेखा समष्टि को परिभाषित करता है — समतुल्य रूप से वक्रों के वेग सदिशों, व्युत्पत्तियों, या संक्रमण-संगत टुपल्स के माध्यम से — और स्पर्शरेखा समष्टियों को स्पर्शरेखा बंडल में एकत्रित करता है। यह एक सुचारु मानचित्र के अवकल, स्पर्शरेखा बंडल के खंडों के रूप में सदिश क्षेत्रों, उनके समाकल वक्रों और प्रवाहों, लाइ ब्रैकेट और लाइ व्युत्पन्न, और वितरणों की समाकलनीयता पर फ्रोबेनियस के प्रमेय को विकसित करता है। कोटैंजेंट समष्टि और एक-रूप अवकल रूपों की ओर ले जाने वाली दोहरी संरचना के रूप में प्रकट होते हैं।

Core questions

• एक स्पर्शरेखा सदिश की समतुल्य परिभाषाएँ क्या हैं, और वे क्यों सहमत हैं?
• एक सुचारु मानचित्र का अवकल स्पर्शरेखा समष्टियों पर कैसे कार्य करता है?
• सदिश क्षेत्र प्रवाह कैसे उत्पन्न करते हैं, और लाइ ब्रैकेट दो प्रवाहों के बारे में क्या मापता है?
• वितरणों के एक परिवार को उप-मैनिफोल्ड में कब एकीकृत किया जा सकता है (फ्रोबेनियस का प्रमेय)?

Key concepts

• स्पर्शरेखा समष्टि और व्युत्पत्तियों के रूप में स्पर्शरेखा सदिश
• स्पर्शरेखा बंडल और एक सुचारु मानचित्र का अवकल
• सदिश क्षेत्र, समाकल वक्र और प्रवाह
• लाइ ब्रैकेट और लाइ व्युत्पन्न
• वितरण और फ्रोबेनियस समाकलनीयता प्रमेय

Clinical relevance

स्पर्शरेखा सदिश और सदिश क्षेत्र वेग, बल और अतिसूक्ष्म समरूपता को औपचारिक रूप देते हैं; वे मैनिफोल्ड पर गतिशील प्रणालियों, एक लाइ समूह के लाइ बीजगणित, और रीमैनियन ज्यामिति के भूगणितीय और वक्रता निर्माणों के लिए आधार हैं।

History

व्युत्पत्तियों के रूप में स्पर्शरेखा समष्टि की आंतरिक, निर्देशांक-मुक्त परिभाषा 20वीं सदी के मध्य में उभरी, जो लाइ के सतत परिवर्तन समूहों के सिद्धांत और कार्टन के अवकल रूपों के कलन पर आधारित थी, जिसने अवकल ज्यामिति को इसका आधुनिक कार्यात्मक सूत्रीकरण दिया।

Key figures

• Élie Cartan
• Sophus Lie
• John M. Lee

Seminal works

• lee2012
• warner1983

Frequently asked questions

स्पर्शरेखा सदिशों को व्युत्पत्तियों के रूप में क्यों परिभाषित करें?

व्युत्पत्ति परिभाषा आंतरिक और निर्देशांक-मुक्त है: एक स्पर्शरेखा सदिश सुचारु फलनों पर एक रैखिक संकारक है जो लाइबनिज़ नियम को संतुष्ट करता है, जो किसी भी एम्बेडिंग के संदर्भ से बचाता है और अमूर्त मैनिफोल्ड पर काम करता है।

दो सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट क्या मापता है?

यह दो सदिश क्षेत्रों के प्रवाहों के आवागमन में विफलता को मापता है; ब्रैकेट का लुप्त होना का अर्थ है कि प्रवाहों को एक ही बिंदु तक पहुँचने के लिए किसी भी क्रम में अनुसरण किया जा सकता है।