रीमानियन ज्यामिति

रीमानियन ज्यामिति एक चिकने मैनिफोल्ड को एक मीट्रिक से सुसज्जित करती है जो लंबाई और कोणों को मापती है, जिससे मैनिफोल्ड्स का कैलकुलस दूरी, जियोडेसिक्स और वक्रता की एक वास्तविक ज्यामिति में बदल जाता है।

Definition

रीमानियन ज्यामिति चिकने मैनिफोल्ड्स का अध्ययन है जो रीमानियन मीट्रिक – स्पर्शरेखा स्थानों पर एक सुचारू रूप से भिन्न आंतरिक उत्पाद – और लंबाई, कोण, जियोडेसिक और वक्रता की ज्यामितीय धारणाओं से सुसज्जित हैं जिन्हें मीट्रिक निर्धारित करता है।

Scope

यह क्षेत्र रीमानियन मीट्रिक से संपन्न मैनिफोल्ड्स को कवर करता है: लेवी-सिविटा कनेक्शन और समानांतर परिवहन, स्थानीय रूप से सबसे छोटे पथों के रूप में जियोडेसिक्स, वक्रता टेंसर और उसके संकुचन (अनुभागीय, रिक्की और अदिश वक्रता), और वक्रता सीमाओं को टोपोलॉजी और दूरी से संबंधित करने वाले वैश्विक तुलना प्रमेय। इसमें स्थानीय वक्रता और वैश्विक आकार के बीच का परस्पर क्रिया शामिल है जो आधुनिक ज्यामिति के अधिकांश हिस्से को प्रेरित करता है, जबकि विभेदक टोपोलॉजी की मीट्रिक-मुक्त चिकनी संरचनाओं और लोरेंत्ज़ियन ज्यामिति में अध्ययन किए गए अनिश्चित मीट्रिक को बाहर रखा गया है।

Sub-topics

• कनेक्शन और समानांतर परिवहन
• वक्रता और तुलना ज्यामिति
• रीमानियन मेट्रिक्स और जियोडेसिक्स

Core questions

• एक मीट्रिक एक अद्वितीय संगत, मरोड़-मुक्त कनेक्शन (लेवी-सिविटा) और इस प्रकार जियोडेसिक्स को कैसे निर्धारित करता है?
• विभिन्न वक्रताएँ क्या हैं, और वे समतलता से स्थानीय विचलन को कैसे एन्कोड करती हैं?
• वक्रता सीमाएँ एक मैनिफोल्ड की वैश्विक टोपोलॉजी और व्यास को कैसे बाधित करती हैं?
• दो रीमानियन मैनिफोल्ड कब आइसोमेट्रिक होते हैं, और कौन सी मात्राएँ आइसोमेट्री अपरिवर्तनीय हैं?

Key concepts

• रीमानियन मीट्रिक और आइसोमेट्रीज़
• लेवी-सिविटा कनेक्शन और समानांतर परिवहन
• जियोडेसिक्स और घातीय मानचित्र
• रीमान वक्रता टेंसर, अनुभागीय, रिक्की और अदिश वक्रता
• वक्रता को टोपोलॉजी से संबंधित करने वाले तुलना प्रमेय

Clinical relevance

रीमानियन ज्यामिति सामान्य सापेक्षता का गणितीय ढाँचा है (इसके लोरेंत्ज़ियन सामान्यीकरण के साथ), ज्यामितीय विश्लेषण और रिक्की-प्रवाह तकनीकों का आधार है जिनका उपयोग पोंकारे अनुमान को हल करने के लिए किया जाता है, और मैनिफोल्ड्स पर अनुकूलन, आकार विश्लेषण और मशीन लर्निंग के लिए केंद्रीय घुमावदार मीट्रिक प्रदान करती है।

History

रीमान के 1854 के हैबिलिटेशन व्याख्यान ने मनमाने आयामों में वक्रता की मीट्रिक धारणा पेश की; लेवी-सिविटा के समानांतर परिवहन (1917) ने कनेक्शन को उसका ज्यामितीय अर्थ दिया, और कार्टन, राऊच और बाद में ग्रोमोव द्वारा विकसित वैश्विक तुलना ज्यामिति ने इस विषय को वक्रता बनाम टोपोलॉजी के अध्ययन में बदल दिया।

Key figures

• Bernhard Riemann
• Tullio Levi-Civita
• Mikhail Gromov

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

रीमानियन मीट्रिक एक चिकने मैनिफोल्ड में क्या जोड़ता है?

यह प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद प्रदान करता है, जो सुचारू रूप से भिन्न होता है, जिससे कोई वक्रों की लंबाई, वैक्टर के बीच के कोण, आयतन और अंततः वक्रता को माप सकता है - जिनमें से कोई भी एक नंगे चिकने मैनिफोल्ड पर मौजूद नहीं होता है।

रीमानियन ज्यामिति सामान्य सापेक्षता से कैसे संबंधित है?

सामान्य सापेक्षता स्पेसटाइम पर अनिश्चित हस्ताक्षर का एक छद्म-रीमानियन (लोरेंत्ज़ियन) मीट्रिक का उपयोग करती है; रीमानियन ज्यामिति के लेवी-सिविटा कनेक्शन, जियोडेसिक्स और वक्रता टेंसर आगे बढ़ते हैं और मुक्त गिरावट और गुरुत्वाकर्षण को वक्रता के रूप में वर्णित करते हैं।