कनेक्शन और समानांतर परिवहन

एक कनेक्शन यह निर्धारित करता है कि वक्रों के साथ सदिश क्षेत्रों को कैसे विभेदित किया जाए, और समानांतर परिवहन इसका उपयोग सदिशों को एक मैनिफोल्ड में ले जाने के लिए करता है, जबकि उन्हें ज्यामिति की अनुमति के अनुसार स्थिर रखता है।

Definition

एक मैनिफोल्ड पर एक कनेक्शन सदिश क्षेत्रों के सहसंयोजक व्युत्पन्न लेने के लिए एक नियम है जो रैखिक है और एक लाइबनिज़ नियम को संतुष्ट करता है; समानांतर परिवहन एक वक्र के साथ एक स्पर्शरेखा सदिश को इस तरह से स्थानांतरित करने के लिए परिणामी नुस्खा है कि वक्र के साथ इसका सहसंयोजक व्युत्पन्न शून्य हो जाता है।

Scope

यह विषय एफाइन और रेखीय कनेक्शन, सहसंयोजक व्युत्पन्न, और वक्रों के साथ समानांतर परिवहन का परिचय देता है। यह रीमैनियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेय को स्थापित करता है — एक अद्वितीय मरोड़-मुक्त मीट्रिक-संगत कनेक्शन (लेवी-सिविटा कनेक्शन) का अस्तित्व — जिसे क्रिस्टोफेल प्रतीकों द्वारा निर्देशांक में व्यक्त किया जाता है। यह जियोडेसिक्स को स्व-समानांतर वक्रों के रूप में, वक्रता की अभिव्यक्ति के रूप में लूपों के चारों ओर समानांतर परिवहन की होलोनॉमी को, और गेज सिद्धांत के पुल के रूप में सामान्य सदिश बंडलों पर कनेक्शन को मानता है।

Core questions

• घुमावदार मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्रों को अलग करने के लिए मीट्रिक से परे एक अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता क्यों है?
• कौन सी स्थितियाँ एक मीट्रिक से लेवी-सिविटा कनेक्शन को विशिष्ट रूप से अलग करती हैं?
• समानांतर परिवहन पथ पर कैसे निर्भर करता है, और वह पथ-निर्भरता क्या प्रकट करती है?
• क्रिस्टोफेल प्रतीक स्थानीय निर्देशांक में कनेक्शन को कैसे व्यक्त करते हैं?

Key concepts

• एफाइन और रेखीय कनेक्शन; सहसंयोजक व्युत्पन्न
• वक्रों के साथ समानांतर परिवहन
• लेवी-सिविटा कनेक्शन और रीमैनियन ज्यामिति का मौलिक प्रमेय
• क्रिस्टोफेल प्रतीक
• होलोनॉमी और सदिश बंडलों पर कनेक्शन

Clinical relevance

कनेक्शन भौतिकी में गेज सिद्धांतों का गणितीय मूल हैं, जहाँ कनेक्शन गेज क्षेत्र है; ज्यामिति में वे जियोडेसिक्स और वक्रता को परिभाषित करते हैं, और समानांतर परिवहन फूको पेंडुलम से लेकर ज्यामितीय (बेरी) चरणों तक की घटनाओं की व्याख्या करता है।

History

लेवी-सिविटा ने 1917 में समानांतर परिवहन की शुरुआत की, जिससे रीमैन की वक्रता को एक सहज अर्थ मिला; वेइल और कार्टन ने 1920 के दशक में इस धारणा को एफाइन और सामान्य कनेक्शनों में अमूर्त किया, और बंडल फॉर्मूलेशन ने बाद में इसे भौतिकी के गेज क्षेत्रों के साथ एकीकृत किया।

Key figures

• Tullio Levi-Civita
• Élie Cartan
• Hermann Weyl

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

हम सीधे एक मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्रों को अलग क्यों नहीं कर सकते?

विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा सदिश विभिन्न सदिश स्थानों में रहते हैं, इसलिए व्युत्पन्न बनाने के लिए उन्हें घटाना परिभाषित नहीं है; एक कनेक्शन आस-पास के स्पर्शरेखा स्थानों की तुलना करने के लिए लापता नियम प्रदान करता है।

लेवी-सिविटा कनेक्शन को क्या खास बनाता है?

यह अद्वितीय कनेक्शन है जो मीट्रिक के साथ संगत (समानांतर परिवहन लंबाई और कोणों को संरक्षित करता है) और मरोड़-मुक्त दोनों है; ये दो स्थितियाँ इसे मीट्रिक से पूरी तरह से निर्धारित करती हैं।