रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ

रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ कई पिछले समाधान मानों और व्युत्पन्नों के रैखिक संयोजन से प्रत्येक नए समाधान मान की गणना करती हैं, जिससे प्रति चरण कम लागत पर उच्च क्रम प्राप्त करने के लिए पिछले कार्य का पुन: उपयोग होता है।

Definition

एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि साधारण अंतर समीकरणों के लिए एक विधि है जो कई पिछले समाधान मानों और दाहिने-हाथ-पक्ष के मूल्यांकनों के बीच एक निश्चित रैखिक संबंध के माध्यम से अगले समाधान मान को निर्धारित करती है।

Scope

यह विषय एडम्स-बैशफोर्थ (स्पष्ट) और एडम्स-माउल्टन (निहित) परिवारों, कठोर समस्याओं के लिए पश्चगामी विभेदन सूत्रों, प्रेडिक्टर-करेक्टर कार्यान्वयन, शून्य-स्थिरता को परिभाषित करने वाले विशिष्ट बहुपद और मूल स्थिति, और डाहल्क्विस्ट की क्रम बाधाओं को शामिल करता है जो ऐसी विधियों की प्राप्तियों को सीमित करती हैं।

Core questions

• मल्टीस्टेप विधियाँ प्रति चरण एक नए फ़ंक्शन मूल्यांकन के साथ उच्च क्रम तक पहुँचने के लिए पिछले मानों का पुन: उपयोग कैसे करती हैं?
• शून्य-स्थिरता क्या है, और विशिष्ट बहुपद पर मूल स्थिति इसे कैसे व्यक्त करती है?
• प्रेडिक्टर-करेक्टर जोड़े व्यवहार में स्पष्ट और निहित सूत्रों को कैसे जोड़ते हैं?
• डाहल्क्विस्ट की क्रम बाधाएँ मल्टीस्टेप सटीकता और स्थिरता की सीमाओं के बारे में क्या कहती हैं?

Key theories

शून्य-स्थिरता और मूल स्थिति

एक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर होती है, और इसलिए सुसंगत होने पर अभिसारी होती है, ठीक तभी जब इसके पहले विशिष्ट बहुपद के मूल बंद इकाई डिस्क में हों और सीमा पर केवल सरल मूल हों; यह मूल स्थिति स्थिरता का मल्टीस्टेप अनुरूप है।

डाहल्क्विस्ट बाधाएँ

डाहल्क्विस्ट की पहली बाधा एक शून्य-स्थिर k-चरणीय विधि के क्रम को सीमित करती है, और उनकी दूसरी बाधा दर्शाती है कि कोई भी A-स्थिर रैखिक मल्टीस्टेप विधि दो से अधिक क्रम की नहीं हो सकती है, यही कारण है कि उच्च-क्रम के कठोर सॉल्वर्स पूर्ण स्थिरता के बजाय सापेक्ष स्थिरता के BDF समझौते पर निर्भर करते हैं।

Mechanisms

एडम्स विधियाँ पिछले व्युत्पन्न मानों के माध्यम से एक अंतर्वेशी बहुपद को एकीकृत करती हैं: एडम्स-बैशफोर्थ केवल ज्ञात मानों का उपयोग करता है (स्पष्ट), एडम्स-माउल्टन अधिक सटीकता और स्थिरता के लिए अज्ञात नए मान (निहित) को शामिल करता है। व्यवहार में दोनों को एक प्रेडिक्टर-करेक्टर के रूप में जोड़ा जाता है: स्पष्ट सूत्र भविष्यवाणी करता है, निहित सूत्र सुधार करता है, आमतौर पर एक या दो पुनरावृत्तियों में। इसके बजाय पश्चगामी विभेदन सूत्र नए बिंदु पर व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए पिछले समाधान मानों को भिन्न करते हैं, जिससे कठोर ODE कोड के केंद्र में कठोर-स्थिर विधियाँ मिलती हैं। क्योंकि मल्टीस्टेप विधियों को कई प्रारंभिक मानों की आवश्यकता होती है, उन्हें एक-चरणीय विधि द्वारा बूटस्ट्रैप किया जाता है।

Clinical relevance

रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ, विशेष रूप से पश्चगामी विभेदन सूत्र, रासायनिक गतिकी, इलेक्ट्रॉनिक सर्किट सिमुलेशन, और बड़े अंतर-बीजगणितीय प्रणालियों में उपयोग किए जाने वाले उत्पादन कठोर-ODE सॉल्वर्स को शक्ति प्रदान करते हैं, जहाँ दाहिने-हाथ-पक्ष का मूल्यांकन महंगा होता है और मल्टीस्टेप सूत्रों के माध्यम से पिछले मूल्यांकनों का पुन: उपयोग प्रमुख दक्षता लाभ देता है।

History

एडम्स और बैशफ़ोर्थ ने उन्नीसवीं शताब्दी में मल्टीस्टेप सूत्रों की शुरुआत की, जिसमें माउल्टन ने निहित वेरिएंट जोड़े; डाहल्क्विस्ट के 1950-60 के दशक के विश्लेषण ने स्थिरता सिद्धांत और क्रम बाधाओं को स्थापित किया जो इस क्षेत्र को नियंत्रित करते हैं, और सी. विलियम गियर के 1970 के दशक के काम ने पश्चगामी-विभेदन-सूत्र कोड को कठोर समस्याओं के लिए मानक बना दिया।

Key figures

• John Couch Adams
• Francis Bashforth
• Forest Ray Moulton
• Germund Dahlquist
• C. William Gear

Seminal works

• hairer1993
• iserles2008

Frequently asked questions

मल्टीस्टेप विधियाँ रुंगे-कुट्टा विधियों से कैसे भिन्न हैं?

रुंगे-कुट्टा विधियाँ प्रत्येक चरण के भीतर कई नए व्युत्पन्न मूल्यांकन करती हैं लेकिन बाद में उन्हें छोड़ देती हैं, जबकि मल्टीस्टेप विधियाँ पिछले चरणों से व्युत्पन्न मानों का पुन: उपयोग करती हैं। मल्टीस्टेप विधियाँ इसलिए प्रति चरण सस्ती होती हैं लेकिन उन्हें अतिरिक्त प्रारंभिक मानों और चरण-आकार परिवर्तनों के विशेष प्रबंधन की आवश्यकता होती है।

मूल स्थिति क्या है?

यह आवश्यकता है कि विधि के पहले विशिष्ट बहुपद के मूल इकाई वृत्त के अंदर या उस पर हों, जिसमें सीमा मूल सरल हों। यह सुनिश्चित करता है कि छोटे त्रुटियों को चरणों के संचय के साथ बढ़ाया नहीं जाता है, जिससे विधि शून्य-स्थिर और इस प्रकार अभिसारी होती है।