स्थानीयकरण
स्थानीयकरण औपचारिक रूप से एक वलय के चुने हुए तत्वों के एक समुच्चय को व्युत्क्रमित करता है, जिससे भिन्नों का एक वलय बनता है जो एक अभाज्य आदर्श के पास बीजगणितीय व्यवहार को अलग करता है, जो ज्यामितीय रूप से ज़ूम इन करने का बीजगणितीय प्रतिरूप है।
Definition
एक क्रमविनिमेय वलय का एक गुणात्मक रूप से संवृत समुच्चय पर स्थानीयकरण उस समुच्चय के व्युत्क्रमों को औपचारिक रूप से जोड़कर प्राप्त भिन्नों का वलय है; एक अभाज्य आदर्श के पूरक पर स्थानीयकरण करने से एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श के साथ एक स्थानीय वलय प्राप्त होता है।
Scope
यह विषय भिन्नों के वलयों और मॉड्यूलों के निर्माण, एक अभाज्य आदर्श पर स्थानीयकरण और परिणामी स्थानीय वलय, स्थानीयकरण की यथार्थता, एक स्थानीयकरण के अभाज्य आदर्शों और वलय के अभाज्य आदर्शों के बीच पत्राचार, और स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत को शामिल करता है।
Core questions
- वलय के तत्वों को औपचारिक रूप से कैसे व्युत्क्रमित किया जाता है?
- एक स्थानीय वलय क्या है, और एक अभाज्य पर स्थानीयकरण इसे कैसे उत्पन्न करता है?
- एक स्थानीयकरण के अभाज्य आदर्श मूल वलय के अभाज्य आदर्शों से कैसे संबंधित हैं?
- स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत वैश्विक कथनों को स्थानीय कथनों में कैसे कम करता है?
Key theories
- वलय और भिन्नों का मॉड्यूल
- एक गुणात्मक रूप से संवृत समुच्चय को व्युत्क्रमित करने से भिन्नों का एक वलय प्राप्त होता है जिसमें वलय मानचित्रों के बीच एक सार्वभौमिक गुण होता है जो उस समुच्चय को इकाइयों में भेजता है, और वही निर्माण मॉड्यूलों को संगत रूप से स्थानीयकृत करता है।
- स्थानीयकरण की यथार्थता
- स्थानीयकरण एक यथार्थ फ़ंक्टर है, जो अंतःक्षेपण, अधिरोपण और यथार्थ अनुक्रमों को संरक्षित करता है, जो इसे मॉड्यूलों का अध्ययन करने के लिए एक विशेष रूप से सुव्यवस्थित उपकरण बनाता है।
- स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत
- एक मॉड्यूल या वलय के कई गुण वैश्विक रूप से तभी मान्य होते हैं जब वे प्रत्येक अभाज्य (या अधिकतम) आदर्श पर स्थानीयकरण के बाद मान्य हों, इसलिए स्थानीय गणनाएं वैश्विक संरचना निर्धारित करती हैं।
Clinical relevance
स्थानीयकरण एक बिंदु के पास एक स्थान का अध्ययन करने का बीजगणितीय औपचारिकीकरण है: बीजगणितीय ज्यामिति में यह एक वैरायटी पर बिंदुओं के स्थानीय वलयों और संरचना शीफ का निर्माण करता है, और संख्या सिद्धांत में यह अभाज्य संख्याओं पर पूर्णांकों के वलयों के स्थानीयकरण का उत्पादन करता है जो स्थानीय-वैश्विक विधियों को रेखांकित करते हैं।
History
स्थानीयकरण ने एक पूर्णांकीय डोमेन से उसके भिन्नों के क्षेत्र में संक्रमण और संख्या सिद्धांत के p-आदिक निर्माणों को सामान्यीकृत किया। क्रुल और शेवेले ने 1930 और 1940 के दशक में स्थानीय वलयों का विकास किया, और ज़ारिस्की और ग्रोथेंडिक द्वारा क्रमविनिमेय बीजगणित के ज्यामितीय पुनर्गठन के साथ स्थानीयकरण मौलिक बन गया।
Key figures
- Wolfgang Krull
- Claude Chevalley
- Oscar Zariski
- Alexander Grothendieck
Related topics
Seminal works
- atiyah1969
- eisenbud1995
- matsumura1989
Frequently asked questions
- एक अभाज्य आदर्श पर स्थानीयकरण करने का क्या अर्थ है?
- इसका अर्थ है अभाज्य में न होने वाले प्रत्येक तत्व को व्युत्क्रमित करना, जिससे एक स्थानीय वलय बनता है जिसका अद्वितीय अधिकतम आदर्श उस अभाज्य से मेल खाता है। ज्यामितीय रूप से यह उस बिंदु के पास वलय के व्यवहार पर ध्यान केंद्रित करता है जिसका अभाज्य प्रतिनिधित्व करता है।
- स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत क्यों उपयोगी है?
- कई गुण, जैसे कि एक मॉड्यूल का शून्य होना या एक मानचित्र का समरूपता होना, स्थानीयकरण के बाद एक-एक अभाज्य पर जांचे जा सकते हैं। यह कठिन वैश्विक प्रश्नों को सरल स्थानीय प्रश्नों में कम करता है, जो बीजगणित और संख्या सिद्धांत में एक आवर्ती रणनीति है।