नोथेरियन वलय
एक नोथेरियन वलय वह है जिसमें प्रत्येक आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है, या समकक्ष रूप से जिसके आदर्श आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, एक परिमितता परिकल्पना जो आदर्श सिद्धांत को सुगम बनाती है।
Definition
एक क्रमविनिमेय वलय नोथेरियन होता है यदि आदर्शों की प्रत्येक आरोही श्रृंखला स्थिर हो जाती है, या समकक्ष रूप से यदि प्रत्येक आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है, या समकक्ष रूप से यदि आदर्शों के प्रत्येक गैर-रिक्त संग्रह में एक अधिकतम तत्व होता है।
Scope
यह विषय नोथेरियन स्थिति के समतुल्य सूत्रों, हिल्बर्ट आधार प्रमेय, नोथेरियन मॉड्यूल, भागफल, स्थानीयकरण और परिमित जनन के तहत गुण की दृढ़ता, और क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति की स्थायी परिकल्पना के रूप में इसकी भूमिका को शामिल करता है।
Core questions
- नोथेरियन वलय को परिभाषित करने वाली समतुल्य स्थितियाँ क्या हैं?
- हिल्बर्ट आधार प्रमेय बहुपद वलयों को नोथेरियन क्यों रखता है?
- नोथेरियन गुण भागफल, स्थानीयकरण और परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित में कैसे पारित होता है?
- क्रमविनिमेय बीजगणित में नोथेरियन परिकल्पना लगभग सर्वव्यापी क्यों है?
Key theories
- समतुल्य सूत्र
- आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति, प्रत्येक आदर्श का परिमित जनन, और आदर्शों के परिवारों पर अधिकतम-तत्व की स्थिति समतुल्य हैं, जो नोथेरियन वलय की कई विनिमेय परिभाषाएँ प्रदान करते हैं।
- हिल्बर्ट आधार प्रमेय
- यदि एक वलय नोथेरियन है तो उस पर परिमित रूप से कई चरों में बहुपद वलय भी नोथेरियन है, इसलिए क्षेत्रों और पूर्णांकों पर परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित नोथेरियन होते हैं।
- गुण की स्थिरता
- नोथेरियन वलयों के भागफल और स्थानीयकरण नोथेरियन होते हैं, और एक नोथेरियन वलय पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल नोथेरियन होते हैं, इसलिए यह वर्ग क्रमविनिमेय बीजगणित के मानक निर्माणों के तहत बंद होता है।
Clinical relevance
नोथेरियन स्थिति क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति के लगभग सभी के अंतर्निहित परिमितता परिकल्पना है: यह गारंटी देती है कि प्राथमिक अपघटन मौजूद है, कि विविधताएं परिमित रूप से कई समीकरणों द्वारा काटी जाती हैं, और यह कि प्रमुख निर्माण समाप्त हो जाते हैं, इसलिए ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में उत्पन्न होने वाले वलय लगभग हमेशा नोथेरियन होते हैं।
History
डेविड हिल्बर्ट ने 1890 में अपरिवर्तनीय सिद्धांत के संदर्भ में अपना आधार प्रमेय सिद्ध किया, लेकिन आदर्शों की अमूर्त आरोही श्रृंखला की स्थिति और नोथेरियन वलयों का व्यवस्थित सिद्धांत 1920 के दशक में एमी नोथेर के कारण है, जिनके नाम पर इस अवधारणा का नाम रखा गया है।
Key figures
- Emmy Noether
- David Hilbert
- Emanuel Lasker
Related topics
Seminal works
- atiyah1969
- eisenbud1995
- matsumura1989
Frequently asked questions
- आदर्शों का परिमित जनन इतनी उपयोगी परिकल्पना क्यों है?
- यह सुनिश्चित करता है कि आदर्श, और इस प्रकार वे बीजगणितीय समुच्चय जिन्हें वे परिभाषित करते हैं, परिमित डेटा द्वारा वर्णित होते हैं, कि आदर्शों की आरोही श्रृंखला हमेशा के लिए जारी नहीं रह सकती है, और यह कि आगमनात्मक तर्क समाप्त हो जाते हैं। ये प्राथमिक अपघटन और आयाम सिद्धांत के लिए आवश्यक स्थितियाँ हैं।
- क्या व्यवहार में अधिकांश वलय नोथेरियन होते हैं?
- हाँ। क्षेत्र, प्रमुख-आदर्श डोमेन, पूर्णांकों के वलय, और उन पर कोई भी परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित हिल्बर्ट आधार प्रमेय द्वारा नोथेरियन होते हैं। गैर-नोथेरियन वलय मौजूद हैं लेकिन ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में अपेक्षाकृत विदेशी हैं।