रिंग सिद्धांत
रिंग सिद्धांत संगत जोड़ और गुणा संक्रियाओं से सुसज्जित सेटों का अध्ययन करता है, जो पूर्णांकों और बहुपदों के अंकगणित को सामान्यीकृत करता है और बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति के अधिकांश के लिए संरचनात्मक आधार प्रदान करता है।
Definition
एक रिंग दो बाइनरी संक्रियाओं, जोड़ (जो इसे एक एबेलियन समूह बनाता है) और गुणा (जोड़ पर साहचर्य और वितरणात्मक) के साथ एक सेट है, जिसमें आमतौर पर एक गुणात्मक पहचान होती है। रिंग सिद्धांत इन संरचनाओं, उनके आइडियल और उनके बीच के मानचित्रों का अध्ययन करता है।
Scope
यह क्षेत्र रिंग, सबरिंग और आइडियल को कवर करता है; कोशेंट रिंग और आइसोमॉर्फिज्म प्रमेय; रिंग होमोमॉर्फिज्म; इंटीग्रल डोमेन, फील्ड ऑफ फ्रैक्शन और अद्वितीय गुणनखंडन; बहुपद रिंग और यूक्लिडियन, प्रिंसिपल-आइडियल और नोएथेरियन रिंग। इसमें स्नातक बीजगणित पाठ्यक्रम के स्तर पर क्रमविनिमेय और गैर-क्रमविनिमेय सिद्धांत दोनों शामिल हैं।
Sub-topics
Core questions
- एक रिंग के आइडियल इसकी कोशेंट संरचना और होमोमॉर्फिक छवियों को कैसे नियंत्रित करते हैं?
- किन परिस्थितियों में एक रिंग में अलघुकरणीय तत्वों में अद्वितीय गुणनखंडन होता है?
- एक रिंग के गुण उस पर बहुपद रिंग और फ्रैक्शन के रिंग में कैसे स्थानांतरित होते हैं?
- कौन सी संरचनात्मक परिकल्पनाएँ (नोएथेरियन, प्रिंसिपल-आइडियल, यूक्लिडियन) सुलभ अंकगणित उत्पन्न करती हैं?
Key theories
- रिंगों के लिए आइसोमॉर्फिज्म प्रमेय
- रिंग होमोमॉर्फिज्म उनके कर्नेल द्वारा कोशेंट के माध्यम से कारक होते हैं, और आइडियल और कोशेंट रिंगों के बीच परिणामी पत्राचार समूह-सैद्धांतिक आइसोमॉर्फिज्म प्रमेयों के समानांतर होता है।
- अद्वितीय गुणनखंडन पदानुक्रम
- यूक्लिडियन डोमेन प्रिंसिपल-आइडियल डोमेन होते हैं, जो अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन होते हैं; निहितार्थों की यह श्रृंखला इंटीग्रल डोमेन के अंकगणित को व्यवस्थित करती है और बताती है कि अलघुकरणीय में गुणनखंडन अनिवार्य रूप से अद्वितीय कब होता है।
- हिल्बर्ट आधार प्रमेय
- यदि एक रिंग नोएथेरियन है तो उस पर परिमित रूप से कई चरों में बहुपद रिंग भी नोएथेरियन है, यह सुनिश्चित करते हुए कि क्षेत्रों पर परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित में अच्छी तरह से व्यवहार किए गए आइडियल सिद्धांत होते हैं।
Clinical relevance
रिंग सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति (किस्मों के निर्देशांक रिंग), बीजगणितीय संख्या सिद्धांत (पूर्णांकों के रिंग), कोडिंग सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी (बहुपद और कोशेंट रिंग), और कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के लिए बीजगणितीय आधार प्रदान करता है जो बहुपदों को प्रतीकात्मक रूप से हेरफेर करते हैं।
History
रिंग सिद्धांत डेडेकिंड के बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में आइडियल और हिल्बर्ट के अपरिवर्तनीय सिद्धांत से विकसित हुआ, और 1920 के दशक में एमी नोएथर द्वारा एक संरचनात्मक अनुशासन में अमूर्त किया गया, जिनकी आरोही-श्रृंखला स्थितियों ने विषय को नया रूप दिया। आर्टिन और अन्य ने संरचना सिद्धांत को गैर-क्रमविनिमेय सेटिंग तक बढ़ाया।
Key figures
- Richard Dedekind
- David Hilbert
- Emmy Noether
- Wolfgang Krull
- Emil Artin
Related topics
Seminal works
- lang2002
- dummit2004
- atiyah1969
Frequently asked questions
- एक आइडियल और एक सबरिंग में क्या अंतर है?
- एक सबरिंग रिंग संक्रियाओं के तहत बंद होता है, जबकि एक आइडियल किसी भी रिंग तत्व द्वारा गुणा के तहत अतिरिक्त रूप से अवशोषक होता है। आइडियल, मनमाने सबरिंग नहीं, रिंग होमोमॉर्फिज्म के कर्नेल और वे वस्तुएं हैं जिनके द्वारा आप कोशेंट कर सकते हैं।
- बहुपद रिंग इतने महत्वपूर्ण क्यों हैं?
- बहुपद रिंग मुक्त क्रमविनिमेय बीजगणित हैं: वे अनिश्चितताओं को जोड़ने का मॉडल बनाते हैं, उनके आइडियल बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के अनुरूप होते हैं, और हिल्बर्ट आधार प्रमेय उनके आइडियल सिद्धांत को परिमित रूप से नियंत्रणीय बनाता है, जो बीजगणितीय ज्यामिति का प्रवेश द्वार है।