अभिन्न विस्तार
एक अभिन्न विस्तार एक वलय विस्तार है जिसमें प्रत्येक तत्व उपवलय पर एक मोनिक बहुपद को संतुष्ट करता है, जो बीजगणितीय क्षेत्र विस्तारों का सामान्यीकरण करता है और नियंत्रित करता है कि अभाज्य आदर्श वलयों के बीच कैसे संबंधित होते हैं।
Definition
एक वलय विस्तार का एक तत्व एक उपवलय पर अभिन्न होता है यदि वह उपवलय में गुणांकों वाले एक मोनिक बहुपद का मूल हो; विस्तार अभिन्न होता है जब प्रत्येक तत्व अभिन्न होता है, और अभिन्न संवरण ऐसे सभी तत्वों का समुच्चय होता है।
Scope
यह विषय अभिन्न तत्वों और अभिन्न निर्भरता, एक विस्तार में एक वलय के अभिन्न संवरण और सामान्य वलयों, लाइंग-ओवर, गोइंग-अप, और गोइंग-डाउन प्रमेयों, और नोएथर सामान्यीकरण, आयामी सिद्धांत के संस्थापक संरचनात्मक परिणामों को शामिल करता है।
Core questions
- एक वलय तत्व का एक उपवलय पर अभिन्न होना क्या दर्शाता है?
- अभिन्न संवरण क्या है, और एक वलय सामान्य कब होता है?
- एक अभिन्न विस्तार के साथ अभाज्य आदर्श कैसे ऊपर उठते और नीचे उतरते हैं?
- नोएथर सामान्यीकरण एक बीजगणित को एक बहुपद वलय के परिमित विस्तार के रूप में कैसे प्रस्तुत करता है?
Key theories
- अभिन्न संवरण और सामान्यता
- एक उपवलय पर अभिन्न तत्व एक उपवलय बनाते हैं, जिसे अभिन्न संवरण कहते हैं, और एक डोमेन जो अपने भिन्न क्षेत्र में अपने स्वयं के अभिन्न संवरण के बराबर होता है उसे अभिन्न रूप से संवृत या सामान्य कहा जाता है, जो एक प्रमुख नियमितता शर्त है।
- लाइंग-ओवर और गोइंग-अप प्रमेय
- एक अभिन्न विस्तार के लिए, उपवलय का प्रत्येक अभाज्य विस्तार के एक अभाज्य का संकुचन होता है (लाइंग ओवर), और अभाज्यों की श्रृंखलाएं संगत रूप से ऊपर उठती हैं (गोइंग अप), इसलिए दोनों वलयों के अभाज्य स्पेक्ट्रा कसकर जुड़े होते हैं।
- नोएथर सामान्यीकरण
- एक क्षेत्र पर प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र तत्वों में एक बहुपद उपवलय पर एक परिमित, अतः अभिन्न, मॉड्यूल होता है, जो आयामी सिद्धांत और एफाइन विविधताओं की ज्यामिति का बीजगणितीय हृदय है।
Clinical relevance
अभिन्न विस्तार बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के लिए केंद्रीय हैं, जहाँ एक संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय पूर्णांकों का अभिन्न संवरण है, और बीजगणितीय ज्यामिति के लिए, जहाँ नोएथर सामान्यीकरण और गोइंग-अप प्रमेय आयामी सिद्धांत और विविधताओं के बीच परिमित मॉर्फिज्म के व्यवहार को रेखांकित करते हैं।
History
अभिन्न निर्भरता डेडेकाइंड द्वारा अध्ययन किए गए संख्या सिद्धांत के बीजगणितीय पूर्णांकों को अमूर्त करती है। एमी नोएथर का सामान्यीकरण लेम्मा और क्रुल का 1920 और 1930 के दशक का काम अभिन्न विस्तारों को आयामी सिद्धांत की नींव बनाता है, जिसे बाद में ज़ारिस्की और ग्रोथेंडिक द्वारा ज्यामितीय रूप से व्याख्या किया गया।
Key figures
- Emmy Noether
- Wolfgang Krull
- David Hilbert
- Oscar Zariski
Related topics
Seminal works
- atiyah1969
- eisenbud1995
- matsumura1989
Frequently asked questions
- एक अभिन्न विस्तार एक बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार का सामान्यीकरण कैसे करता है?
- एक क्षेत्र पर, अभिन्न और बीजगणितीय का अर्थ समान होता है क्योंकि मोनिक और मनमाने गैर-शून्य बहुपद केवल एक इकाई से भिन्न होते हैं। एक सामान्य वलय पर मोनिक शर्त आवश्यक है, जो उन तत्वों को पकड़ती है जो बीजगणितीय पूर्णांकों की तरह व्यवहार करते हैं।
- नोएथर सामान्यीकरण क्यों महत्वपूर्ण है?
- यह एक क्षेत्र पर किसी भी परिमित रूप से उत्पन्न बीजगणित को एक बहुपद वलय के परिमित विस्तार के रूप में प्रस्तुत करता है, इसलिए इसकी विमा बहुपद चरों की संख्या के बराबर होती है। यह एफाइन विविधताओं के पूरे आयामी सिद्धांत को एक ठोस निर्माण में आधार प्रदान करता है।