स्कीम (Schemes)

स्कीम (Schemes) ग्रोथेनडिक का वैराइटी (varieties) का व्यापक सामान्यीकरण है, जिसे मनमाने क्रमविनिमेय वलयों (commutative rings) के स्पेक्ट्रा (spectra) को जोड़कर बनाया गया है, जो बीजगणितीय ज्यामिति को किसी भी वलय पर काम करने और अतिसूक्ष्म (infinitesimal) तथा अंकगणितीय जानकारी (arithmetic information) का ट्रैक रखने की सुविधा देता है।

Definition

एक स्कीम एक स्थानीय रूप से वलयित स्थान है जो स्थानीय रूप से एक क्रमविनिमेय वलय (एक एफाइन स्कीम) के स्पेक्ट्रम के लिए आइसोमॉर्फिक (isomorphic) है, जहाँ बिंदु अभाज्य आदर्श (prime ideals) होते हैं और संरचना शीफ (structure sheaf) प्रत्येक खुले सेट पर फलनों के वलय को रिकॉर्ड करता है।

Scope

यह विषय एक क्रमविनिमेय वलय के स्पेक्ट्रम को एक स्थानीय रूप से वलयित स्थान (locally ringed space) के रूप में निर्मित करता है, एफाइन स्कीम (affine schemes) और सामान्य स्कीमों को जोड़ने (gluing) द्वारा परिभाषित करता है, और स्कीमों के मॉर्फिज्म (morphisms) तथा सापेक्ष दृष्टिकोण (relative point of view) को विकसित करता है। यह प्रमुख गुणों — रिड्यूस्ड (reduced), इंटीग्रल (integral), सेपरेटेड (separated), प्रॉपर (proper), और स्मूथ स्कीमों (smooth schemes) — फाइबर प्रोडक्ट (fiber products) और बेस चेंज (base change), और फनक्टर-ऑफ-पॉइंट्स (functor-of-points) परिप्रेक्ष्य पर विचार करता है। गैर-रिड्यूस्ड संरचना (nonreduced structure) को पकड़ने में निलपोटेंट (nilpotents) की भूमिका और अंकगणितीय ज्यामिति (arithmetic geometry) के लिए पूर्णांकों पर स्कीमों के उपयोग पर जोर दिया गया है।

Core questions

• एक वलय का अभाज्य स्पेक्ट्रम (prime spectrum) मनमाने क्रमविनिमेय बीजगणित को ज्यामिति में कैसे बदलता है?
• निलपोटेंट तत्व (nilpotent elements) और जेनेरिक बिंदु (generic points) स्कीमों को क्या व्यक्त करने देते हैं जो वैराइटी नहीं कर सकतीं?
• सापेक्ष स्कीम (relative schemes) और बेस चेंज (base change) किसी भी आधार पर एक समान सिद्धांत का समर्थन कैसे करते हैं?
• फनक्टर-ऑफ-पॉइंट्स (functor-of-points) दृष्टिकोण एक स्कीम को उसमें होने वाले मानचित्रों (maps) द्वारा कैसे चित्रित करता है?

Key concepts

• वलय का स्पेक्ट्रम और अभाज्य पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी (Zariski topology)
• संरचना शीफ (structure sheaf) और स्थानीय रूप से वलयित स्थान (locally ringed spaces)
• एफाइन स्कीम (affine schemes) और सामान्य स्कीमों को जोड़ना (gluing)
• मॉर्फिज्म (Morphisms), फाइबर प्रोडक्ट (fiber products), और बेस चेंज (base change)
• फनक्टर ऑफ पॉइंट्स (Functor of points) और गैर-रिड्यूस्ड (निलपोटेंट) संरचना

Clinical relevance

स्कीम सिद्धांत आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति और अंकगणितीय ज्यामिति की मूलभूत भाषा है; इसने वेइल अनुमानों (Weil conjectures) के कोहोमोलॉजिकल प्रमाणों और फर्मा के अंतिम प्रमेय (Fermat's Last Theorem) के पीछे के मॉड्यूलरिटी परिणामों को संभव बनाया, और यह मॉड्यूली समस्याओं (moduli problems) और विरूपण सिद्धांत (deformation theory) को फ्रेम करता है।

History

सेरे (Serre) की शीफ-सैद्धांतिक बीजगणितीय ज्यामिति (sheaf-theoretic algebraic geometry) पर आधारित होकर, ग्रोथेनडिक ने एलेमेंट्स डी जियोमेट्री अल्जेब्रिक (Éléments de géométrie algébrique) (1960 के दशक) में स्कीमों को प्रस्तुत किया, जिसमें वैराइटी (varieties) को मनमाने वलयों के स्पेक्ट्रा (spectra) तक सामान्यीकृत किया गया और पूरे क्षेत्र को कोहोमोलॉजिकल और श्रेणीबद्ध नींव (categorical foundations) पर पुनर्निर्मित किया गया।

Key figures

• Alexander Grothendieck
• Jean-Pierre Serre
• David Mumford

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

एक स्कीम एक वैराइटी से कैसे भिन्न है?

एक वैराइटी अनिवार्य रूप से एक क्षेत्र पर परिमित प्रकार (finite type) की एक इंटीग्रल (integral), रिड्यूस्ड स्कीम (reduced scheme) है; एक सामान्य स्कीम में निलपोटेंट फलन (nilpotent functions), अनंत या जेनेरिक बिंदु (generic points) हो सकते हैं, और इसे किसी भी क्रमविनिमेय वलय पर परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें पूर्णांक भी शामिल हैं।

एक स्कीम के बिंदुओं में केवल अधिकतम आदर्श (maximal ideals) ही नहीं, बल्कि अभाज्य आदर्श (prime ideals) भी क्यों शामिल होते हैं?

अभाज्य आदर्श जो अधिकतम नहीं होते हैं, वे जेनेरिक बिंदु (generic points) देते हैं जो उप-वैराइटी (subvarieties) के क्लोजर (closure) में स्थित होते हैं, जो इरेड्यूसिबल सबस्कीम (irreducible subschemes) की समावेशन संरचना (inclusion structure) को कैप्चर करते हैं और वलय मानचित्रों (ring maps) के तहत ज्यामिति को फनक्टोरियल (functorial) बनाते हैं।