आदर्श (Ideal)

एक आदर्श (ideal) वलय (ring) का एक विशेष उपसमुच्चय है, जो योग के तहत संवृत (closed under addition) और गुणन के तहत अवशोषक (absorbent under multiplication) होता है। यह एक समरूपता (homomorphism) के कर्नेल (kernel) के रूप में कार्य करता है और वह वस्तु है जिसके द्वारा भागफल वलय (quotient rings) का निर्माण किया जाता है।

Definition

वलय R का एक आदर्श एक योगात्मक उपसमूह (additive subgroup) है जो R के तत्वों द्वारा गुणन को अवशोषित करता है; एक क्रमविनिमेय वलय (commutative ring) में एक उपसमुच्चय I एक आदर्श होता है यदि वह योग के तहत संवृत हो और R में प्रत्येक r और I में प्रत्येक i के लिए ri, I में स्थित हो।

Scope

यह विषय वाम, दक्षिण और द्वि-पक्षीय आदर्शों (left, right, and two-sided ideals); प्रमुख, अधिकतम और अभाज्य आदर्शों (principal, maximal, and prime ideals); आदर्शों पर संक्रियाओं (operations on ideals) जैसे योग, गुणन और प्रतिच्छेदन (sums, products, and intersections); भागफल वलय (quotient rings) और पत्राचार प्रमेय (correspondence theorem); तथा उनके अधिकतम और अभाज्य आदर्शों द्वारा क्षेत्रों (fields) और पूर्णांक डोमेन (integral domains) के लक्षण वर्णन को शामिल करता है।

Core questions

• आदर्श वलय समरूपताओं के कर्नेल से कैसे संबंधित हैं?
• अभाज्य और अधिकतम आदर्शों में क्या अंतर है, और उनके भागफल कैसे दिखते हैं?
• योग, गुणन और प्रतिच्छेदन द्वारा पुराने आदर्शों से नए आदर्शों का निर्माण कैसे किया जाता है?
• आदर्शों का जालक (lattice) वलय की संरचना को कैसे दर्शाता है?

Key theories

कर्नेल के रूप में आदर्श

वलय का एक उपसमुच्चय किसी वलय समरूपता का कर्नेल होता है यदि और केवल यदि वह एक आदर्श हो, और एक आदर्श द्वारा भागफल करने पर उसे समाप्त करने वाली सार्वभौमिक समरूपता प्राप्त होती है, जो समूह सिद्धांत में सामान्य उपसमूहों के समान है।

अभाज्य और अधिकतम आदर्श

पहचान वाले एक क्रमविनिमेय वलय में, एक आदर्श ठीक तब अभाज्य होता है जब उसका भागफल एक पूर्णांक डोमेन हो और ठीक तब अधिकतम होता है जब उसका भागफल एक क्षेत्र हो, इसलिए अधिकतम आदर्श अभाज्य होते हैं।

जालक पत्राचार

एक भागफल वलय के आदर्श चुने हुए आदर्श वाले मूल वलय के आदर्शों के साथ द्वि-एकैकी रूप से मेल खाते हैं, जिससे संरचनात्मक प्रश्नों को एक वलय और उसके भागफलों के बीच स्थानांतरित किया जा सकता है।

Clinical relevance

आदर्श वलय सिद्धांत की केंद्रीय संगठनात्मक अवधारणा हैं: अभाज्य आदर्श बीजगणितीय ज्यामिति के स्पेक्ट्रा के बिंदु हैं, आदर्श बहुपद समीकरणों की प्रणालियों को एन्कोड करते हैं, और आदर्शों द्वारा भागफल निर्माण नए वलयों का निर्माण करते हैं जैसे परिमित क्षेत्र (finite fields) और किस्मों के निर्देशांक वलय (coordinate rings of varieties)।

History

आदर्श शब्द कुमर के आदर्श संख्याओं (Kummer's ideal numbers) से आया है, जिनका आविष्कार बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अद्वितीय गुणनखंडन (unique factorization) को बहाल करने के लिए किया गया था; डेडेकाइंड ने उन्हें सेट के रूप में पुनर्गठित किया, जो आधुनिक आदर्श हैं। एमी नोएथर की आदर्शों पर श्रृंखला की शर्तों ने बाद में उन्हें अमूर्त वलय सिद्धांत की रीढ़ बना दिया।

Key figures

• Richard Dedekind
• Ernst Kummer
• Emmy Noether
• David Hilbert

Seminal works

• dummit2004
• atiyah1969
• hungerford1974

Frequently asked questions

आप एक वलय को एक आदर्श द्वारा भागफल क्यों कर सकते हैं लेकिन मनमाने उपवलय द्वारा नहीं?

भागफल पर गुणन केवल तभी अच्छी तरह से परिभाषित होता है जब उपसमुच्चय सभी वलय तत्वों द्वारा गुणन को अवशोषित करता है, जो ठीक आदर्श की स्थिति है। केवल वलय संक्रियाओं के तहत संवृत एक उपवलय सामान्यतः एक अच्छी तरह से परिभाषित भागफल वलय नहीं देता है।

अभाज्य और अधिकतम आदर्श कैसे भिन्न हैं?

एक आदर्श अभाज्य होता है जब उसका भागफल एक पूर्णांक डोमेन होता है और अधिकतम होता है जब उसका भागफल एक क्षेत्र होता है। चूंकि प्रत्येक क्षेत्र एक पूर्णांक डोमेन होता है, अधिकतम आदर्श हमेशा अभाज्य होते हैं, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है; यह अंतर वलय के आयाम को दर्शाता है।