लार्ज कार्डिनल्स (बृहत् गणन संख्याएँ)

लार्ज कार्डिनल्स अनंतता के प्रबल स्वयंसिद्ध हैं जो इतनी बड़ी गणन संख्याओं के अस्तित्व पर जोर देते हैं कि उनके अस्तित्व को ZFC में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, और वे लगभग एक रेखीय पदानुक्रम बनाते हैं जो गणितीय सिद्धांतों की शक्ति को कैलिब्रेट करता है।

Definition

एक लार्ज कार्डिनल स्वयंसिद्ध एक गणन संख्या के अस्तित्व पर जोर देता है जिसमें एक प्रबल संवरक (closure) या परावर्तन गुण (reflection property) होता है, जिसे आमतौर पर ब्रह्मांड के एक प्राथमिक अंतःस्थापन के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है; ऐसी गणन संख्याएँ ZFC जो सिद्ध कर सकता है उससे अधिक होती हैं और इस प्रकार सिद्धांत की संगति शक्ति को बढ़ाती हैं।

Scope

यह विषय प्रमुख लार्ज कार्डिनल धारणाओं जैसे कि अगम्य (inaccessible), मालो (Mahlo), दुर्बल रूप से सुसंहत (weakly compact), मापनीय (measurable), और सुपरकॉम्पैक्ट (supercompact) कार्डिनल्स, परावर्तन (reflection) और प्राथमिक अंतःस्थापन (elementary embeddings) के माध्यम से उनके लक्षण वर्णन, उनके द्वारा उत्पन्न संगति-शक्ति पदानुक्रम (consistency-strength hierarchy), और निर्धारण (determinacy) तथा आंतरिक मॉडल सिद्धांत (inner model theory) से उनके संबंधों को शामिल करता है।

Core questions

• मुख्य लार्ज कार्डिनल्स को कौन से संवरक और परावर्तन गुण परिभाषित करते हैं?
• प्राथमिक अंतःस्थापन मापनीय और प्रबल कार्डिनल्स को कैसे चित्रित करते हैं?
• लार्ज कार्डिनल्स संगति शक्ति का लगभग एक रेखीय पदानुक्रम क्यों बनाते हैं?
• लार्ज कार्डिनल्स निर्धारण और वास्तविक संख्याओं की संरचना के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं?

Key theories

अगम्य (Inaccessible) और मालो (Mahlo) कार्डिनल्स

एक अगम्य कार्डिनल नियमित और एक प्रबल सीमा है, इसलिए इसे सामान्य समुच्चय संक्रियाओं द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है और यह ZFC का एक प्राकृतिक मॉडल देता है; मालो कार्डिनल्स अगम्यता को दर्शाते हैं, जिससे पदानुक्रम की शुरुआत होती है।

मापनीय कार्डिनल्स (Measurable cardinals) और प्राथमिक अंतःस्थापन (elementary embeddings)

एक मापनीय कार्डिनल एक गैर-तुच्छ गणनीय रूप से पूर्ण अल्ट्राफिल्टर (nontrivial countably complete ultrafilter) वहन करता है, समतुल्य रूप से यह ब्रह्मांड के एक आंतरिक मॉडल में एक प्राथमिक अंतःस्थापन का महत्वपूर्ण बिंदु है, जो रचनात्मकता के स्वयंसिद्ध का खंडन करता है।

संगति-शक्ति पदानुक्रम (Consistency-strength hierarchy)

लार्ज कार्डिनल स्वयंसिद्ध सापेक्ष संगति द्वारा क्रमबद्ध होते हैं, ताकि एक की संगति सभी कमजोर लोगों की संगति को दर्शाती है, जो एक ऐसा पैमाना प्रदान करता है जिसके विरुद्ध मनमाने सिद्धांतों की शक्ति को मापा जाता है।

Clinical relevance

लार्ज कार्डिनल्स गणित में संगति शक्ति का प्रामाणिक पैमाना प्रदान करते हैं: कई कथन किसी लार्ज कार्डिनल के अस्तित्व के साथ समसंगत (equiconsistent) साबित होते हैं, और प्रबल लार्ज कार्डिनल्स वास्तविक रेखा के नियमितता गुणों को दर्शाते हैं जैसे कि प्रक्षेप्य निर्धारण (projective determinacy) और निर्धारणीय समुच्चयों की लेबेग मापनीयता (Lebesgue measurability of definable sets)।

History

अगम्य कार्डिनल्स ज़र्मेलो (Zermelo) और सिएरपिंस्की-टार्स्की (Sierpinski-Tarski) के समुच्चय सिद्धांत के मॉडल के अध्ययन से उत्पन्न हुए, और उलाम (Ulam) के 1930 के माप पर काम ने मापनीय कार्डिनल्स को जन्म दिया। स्कॉट (Scott) ने 1961 में दिखाया कि एक मापनीय कार्डिनल रचनात्मकता के स्वयंसिद्ध (axiom of constructibility) का खंडन करता है, और सोलोवे (Solovay), मार्टिन (Martin), वुडिन (Woodin), और अन्य के बाद के काम ने आधुनिक पदानुक्रम और निर्धारण से इसके संबंधों का निर्माण किया।

Key figures

• Stanislaw Ulam
• Dana Scott
• Robert Solovay
• Hugh Woodin

Seminal works

• kanamori2009
• jech2003
• kunen2011

Frequently asked questions

ZFC यह क्यों सिद्ध नहीं कर सकता कि लार्ज कार्डिनल्स मौजूद हैं?

एक अगम्य कार्डिनल ZFC का एक समुच्चय मॉडल उत्पन्न करता है, इसलिए गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय (Goedel's second incompleteness theorem) के अनुसार ZFC यह सिद्ध नहीं कर सकता कि ऐसा कार्डिनल अपनी संगति को सिद्ध किए बिना मौजूद है, जो वह नहीं कर सकता। यही तर्क, प्रबल लार्ज कार्डिनल्स पर भी लागू होता है।

उन स्वयंसिद्धों का अध्ययन क्यों करें जिन्हें सुसंगत सिद्ध नहीं किया जा सकता है?

लार्ज कार्डिनल्स गणितीय सिद्धांतों की शक्ति की तुलना करने के लिए एक सुसंगत और सुव्यवस्थित पैमाना प्रदान करते हैं, और वे वास्तविक संख्याओं के निर्धारणीय समुच्चयों के बारे में अन्यथा स्वतंत्र प्रश्नों को हल करते हैं, जिससे वे एक केंद्रीय संगठनात्मक उपकरण बन जाते हैं, भले ही उनकी संगति को मानना पड़े।