अभिगृहीत समुच्चय सिद्धांत (ZFC)

विकल्प के अभिगृहीत (axiom of choice) के साथ ज़र्मेलो-फ़्रैंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZFC) प्रथम-क्रम अभिगृहीत प्रणाली है जो आधुनिक गणित की मानक औपचारिक नींव के रूप में कार्य करती है।

Definition

ZFC सदस्यता के लिए एक एकल बाइनरी संबंध प्रतीक के साथ प्रथम-क्रम तर्क में एक सिद्धांत है, जिसके अभिगृहीत (विस्तारशीलता, युग्मन, संघ, घात समुच्चय, अनंत, पृथक्करण, प्रतिस्थापन, नींव, और विकल्प) समुच्चयों के ब्रह्मांड का वर्णन करते हैं और जिनसे सामान्य गणित प्राप्त किया जा सकता है।

Scope

यह विषय ZFC के व्यक्तिगत अभिगृहीतों, उनके द्वारा उत्पन्न समुच्चयों के संचयी पदानुक्रम, पृथक्करण और प्रतिस्थापन के अभिगृहीत योजनाओं की भूमिका, और विकल्प के अभिगृहीत की विशेष स्थिति को शामिल करता है। यह बताता है कि परिचित गणितीय वस्तुओं को इस प्रणाली के भीतर समुच्चयों के रूप में कैसे एन्कोड किया जाता है।

Core questions

• प्रत्येक ZFC अभिगृहीत क्या दावा करता है और इसकी आवश्यकता क्यों है?
• संचयी पदानुक्रम समुच्चयों के ब्रह्मांड को कैसे व्यवस्थित करता है?
• विकल्प के अभिगृहीत को क्यों अलग किया जाता है और इसके क्या निहितार्थ हैं?
• ZFC के भीतर संख्याओं, फलनों और संबंधों का निर्माण समुच्चयों के रूप में कैसे किया जाता है?

Key theories

विस्तारशीलता और नींव का अभिगृहीत

विस्तारशीलता कहती है कि समुच्चय उनके सदस्यों द्वारा निर्धारित होते हैं, और नींव अनंत अवरोही सदस्यता श्रृंखलाओं को बाहर करती है, ब्रह्मांड को एक सु-स्थापित संचयी पदानुक्रम के रूप में संरचित करती है।

पृथक्करण और प्रतिस्थापन योजनाएँ

पृथक्करण एक गुण द्वारा परिभाषित उपसमुच्चय बनाता है, और प्रतिस्थापन एक परिभाषित वर्ग फलन के तहत एक समुच्चय की छवि को एक समुच्चय होने की अनुमति देता है, साथ में शास्त्रीय विरोधाभासों को फिर से प्रस्तुत किए बिना बड़े समुच्चय बनाने के लिए आवश्यक शक्ति प्रदान करता है।

विकल्प का अभिगृहीत

विकल्प का अभिगृहीत यह दावा करता है कि गैर-रिक्त समुच्चयों के किसी भी संग्रह में एक विकल्प फलन होता है; यह ज़ोर्न के लेम्मा (Zorn's lemma) और सु-व्यवस्था प्रमेय (well-ordering theorem) के समतुल्य है और गणित के अधिकांश भाग में अपरिहार्य है फिर भी अन्य अभिगृहीतों से स्वतंत्र है।

Clinical relevance

ZFC वह अंतर्निहित ढाँचा है जिसमें अधिकांश कार्यरत गणितज्ञ तर्क करते हैं: यह निर्धारित करता है कि कौन सी वस्तुएँ मौजूद हैं और कौन से निर्माण वैध हैं, इसलिए इसके अभिगृहीतों को समझने से यह स्पष्ट होता है कि कौन से तर्क मौलिक रूप से सुदृढ़ हैं और कौन से विकल्प या अन्य विवादास्पद सिद्धांतों पर निर्भर करते हैं।

History

ज़र्मेलो ने 1908 में अपने सु-व्यवस्था प्रमेय (well-ordering theorem) के प्रमाण को सुरक्षित करने के लिए पहला अभिगृहीतीकरण प्रस्तावित किया; फ़्रैंकेल और स्कोलेम ने 1920 के दशक में प्रतिस्थापन योजना को जोड़ा और वॉन न्यूमैन ने संचयी पदानुक्रम और नींव को स्पष्ट किया, जिससे अब ZFC नामक प्रणाली का निर्माण हुआ।

Key figures

• Ernst Zermelo
• Abraham Fraenkel
• Thoralf Skolem
• John von Neumann

Seminal works

• kunen2011
• jech2003
• enderton1977

Frequently asked questions

केवल भोली समुच्चय सिद्धांत (naive set theory) का उपयोग क्यों नहीं किया जाता है?

भोली समझ, जो किसी भी गुण को संतुष्ट करने वाले सभी समुच्चयों का समुच्चय बनाने की अनुमति देती है, रसेल के विरोधाभास (Russell's paradox) की ओर ले जाती है। ZFC अप्रतिबंधित समझ को प्रतिबंधित पृथक्करण और प्रतिस्थापन योजनाओं से बदल देता है, जो विरोधाभासों से बचते हुए गणित के लिए पर्याप्त मजबूत रहते हैं।

क्या विकल्प का अभिगृहीत आवश्यक है?

मुख्यधारा के गणित का अधिकांश भाग, जिसमें सदिश स्थानों के आधार और विश्लेषण और बीजगणित में कई परिणाम शामिल हैं, इस पर निर्भर करता है। यह अन्य अभिगृहीतों से स्वतंत्र है, इसलिए इसे लगातार माना या अस्वीकार किया जा सकता है, लेकिन इसे पारंपरिक रूप से अपनाया जाता है।