कार्डिनल और ऑर्डिनल अंकगणित

कार्डिनल और ऑर्डिनल अंकगणित गणना और क्रम की धारणाओं को अनंत तक विस्तारित करते हैं, जो ट्रांसफिनिट आकार और स्थिति के दो पूरक माप प्रदान करते हैं।

Definition

एक ऑर्डिनल सदस्यता द्वारा सुव्यवस्थित एक सकर्मक सेट (transitive set) है, जो एक क्रम प्रकार (order type) का प्रतिनिधित्व करता है; एक कार्डिनल एक ऑर्डिनल है जो किसी भी छोटे ऑर्डिनल के साथ एक-एक संगति (bijection) में नहीं है, जो एक आकार का प्रतिनिधित्व करता है। उनका अंकगणित योग, गुणन और घातांक संक्रियाओं को परिभाषित करता है जो परिमित संक्रियाओं को ट्रांसफिनिट तक विस्तारित करते हैं।

Scope

यह विषय विहित सुव्यवस्थित सेटों के रूप में ऑर्डिनल संख्याओं और उनके गैर-विनिमेय अंकगणित, आकार के माप के रूप में कार्डिनल संख्याओं और पसंद के स्वयंसिद्ध (axiom of choice) के तहत उनके अंकगणित, एलेफ और बेथ पदानुक्रम, सह-अंतिमता (cofinality), और कैंटर के प्रमेय और कोएनिग के प्रमेय जैसे परिणामों को शामिल करता है।

Core questions

• ऑर्डिनल समरूपता तक हर सुव्यवस्थितता को कैसे एन्कोड करते हैं?
• ऑर्डिनल अंकगणित गैर-विनिमेय क्यों है जबकि कार्डिनल अंकगणित नहीं है?
• अनंत कार्डिनलों को कैसे जोड़ा, गुणा और घातांकित किया जाता है?
• सह-अंतिमता और कोएनिग का प्रमेय कार्डिनल घातांक पर क्या बाधाएँ डालते हैं?

Key theories

कैंटर का प्रमेय

प्रत्येक सेट के लिए घात सेट में सख्ती से अधिक कार्डिनैलिटी होती है, इसलिए कोई सबसे बड़ा कार्डिनल नहीं होता है और अनंत आकारों का पदानुक्रम कभी समाप्त नहीं होता है।

ट्रांसफिनिट प्रेरण और पुनरावर्तन

गुणों को सिद्ध किया जा सकता है और कार्यों को सभी ऑर्डिनलों पर ऑर्डिनल क्रम के साथ प्रेरण और पुनरावर्तन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो सेट सिद्धांत का केंद्रीय तकनीकी इंजन है।

एलेफ पदानुक्रम और कार्डिनल घातांक

पसंद के तहत अनंत कार्डिनल एलेफ के रूप में सुव्यवस्थित होते हैं; अनंत कार्डिनलों का योग और गुणन अधिकतम तक गिर जाता है, जबकि घातांक सह-अंतिमता और कोएनिग के प्रमेय द्वारा नियंत्रित होता है और ZFC से काफी हद तक स्वतंत्र रहता है।

Clinical relevance

ट्रांसफिनिट अंकगणित पूरे गणित में अनंत सेटों की तुलना को रेखांकित करता है, बीजगणित और विश्लेषण में ट्रांसफिनिट प्रेरण (transfinite induction) द्वारा तर्कों को न्यायोचित ठहराता है, और निरंतरता के मूल्य जैसे केंद्रीय स्वतंत्रता प्रश्नों को तैयार करता है।

History

कैंटर ने 1880 और 1890 के दशक में ऑर्डिनल और कार्डिनल दोनों संख्याओं को प्रस्तुत किया, यह साबित करते हुए कि वास्तविक संख्याएँ अगणनीय हैं और घात सेट (power sets) सख्ती से कार्डिनैलिटी बढ़ाते हैं। वॉन न्यूमैन की ऑर्डिनलों की परिभाषा सदस्यता द्वारा सुव्यवस्थित सकर्मक सेटों के रूप में आधुनिक सूत्रीकरण दिया, और हॉसडॉर्फ और कोएनिग ने कार्डिनल घातांक और सह-अंतिमता पर प्रमुख परिणाम स्थापित किए।

Key figures

• Georg Cantor
• John von Neumann
• Felix Hausdorff
• Julius Koenig

Seminal works

• jech2003
• enderton1977
• kunen2011

Frequently asked questions

ऑर्डिनल और कार्डिनल में क्या अंतर है?

एक ऑर्डिनल एक सुव्यवस्थितता के क्रम प्रकार को रिकॉर्ड करता है, उन व्यवस्थाओं को अलग करता है जिनका आकार समान है लेकिन संरचना भिन्न है, जबकि एक कार्डिनल केवल आकार को रिकॉर्ड करता है। प्रत्येक कार्डिनल एक ऑर्डिनल है, अर्थात् अपने आकार का सबसे छोटा ऑर्डिनल।

एक धन ओमेगा, ओमेगा धन एक से भिन्न क्यों है?

ऑर्डिनल जोड़ को क्रम प्रकारों को जोड़ने द्वारा परिभाषित किया जाता है और यह स्थिति के प्रति संवेदनशील होता है। प्राकृतिक संख्याओं से पहले एक तत्व रखने से प्राकृतिक संख्याओं के समान क्रम प्रकार मिलता है, जबकि उनके बाद एक रखने से एक नया सबसे बड़ा तत्व जुड़ जाता है, इसलिए दोनों योग अलग-अलग ऑर्डिनल होते हैं।