सघनता और लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
सघनता और लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय दो मूलभूत परिणाम हैं जो यह नियंत्रित करते हैं कि प्रथम-क्रम के सिद्धांत किन संरचनाओं का वर्णन कर सकते हैं, जो प्रथम-क्रम तर्क की शक्ति और अंतर्निहित सीमाओं दोनों को प्रकट करते हैं।
Definition
सघनता प्रमेय कहता है कि प्रथम-क्रम के वाक्यों का एक समूह संतोषजनक (satisfiable) है यदि और केवल यदि उसका प्रत्येक परिमित उपसमूह संतोषजनक है; लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय कहता है कि एक अनंत मॉडल के साथ किसी भी प्रथम-क्रम के सिद्धांत में उसकी भाषा के कम से कम उस कार्डिनैलिटी के प्रत्येक अनंत कार्डिनैलिटी में मॉडल होते हैं।
Scope
यह विषय सघनता प्रमेय और पूर्णता या अल्ट्राप्रोडक्ट्स (ultraproducts) के माध्यम से इसके प्रमाण, मॉडल की कार्डिनैलिटी (cardinalities) पर डाउनवर्ड (downward) और अपवर्ड (upward) लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय, अंकगणित और विश्लेषण के गैर-मानक मॉडल के अस्तित्व सहित उनके मानक परिणाम, और स्कोलेम विरोधाभास को शामिल करता है।
Core questions
- किसी सिद्धांत की परिमित संतोषजनकता एक मॉडल की गारंटी क्यों देती है?
- ये प्रमेय अंकगणित और वास्तविक संख्याओं के गैर-मानक मॉडल कैसे उत्पन्न करते हैं?
- कोई भी प्रथम-क्रम सिद्धांत कार्डिनैलिटी तक एक अनंत संरचना को क्यों चित्रित नहीं कर सकता है?
- स्कोलेम विरोधाभास क्या है और इसे कैसे हल किया जाता है?
Key theories
- सघनता प्रमेय
- यदि वाक्यों के एक समूह के प्रत्येक परिमित उपसमूह का एक मॉडल है, तो पूरे समूह का एक मॉडल होता है; यह पूर्णता से प्राप्त होता है या अल्ट्राप्रोडक्ट्स के साथ शब्दार्थ रूप से सिद्ध किया जा सकता है।
- डाउनवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
- किसी भी अनंत संरचना में उसकी भाषा के अधिकतम कार्डिनैलिटी का एक प्राथमिक उपसंरचना (elementary substructure) होता है, इसलिए अनंत मॉडल वाले गणनीय सिद्धांतों में गणनीय मॉडल होते हैं।
- अपवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
- किसी भी अनंत मॉडल को प्रत्येक बड़ी कार्डिनैलिटी के मॉडल तक प्राथमिक रूप से विस्तारित किया जा सकता है, इसलिए प्रथम-क्रम के सिद्धांत अपने अनंत मॉडल के आकार को ठीक नहीं कर सकते हैं।
Clinical relevance
ये प्रमेय मॉडल सिद्धांत के मुख्य आधार हैं: सघनता का उपयोग गैर-मानक मॉडल बनाने के लिए किया जाता है जो परिणामों को सिद्ध या स्थानांतरित करते हैं, और लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय बताते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं या वास्तविक संख्याओं के प्रथम-क्रम के स्वयंसिद्धीकरण (axiomatizations) हमेशा अनपेक्षित मॉडल क्यों स्वीकार करते हैं, जिससे तार्किक ढाँचों के चुनाव को आकार मिलता है।
History
लोवेनहेम ने 1915 में डाउनवर्ड प्रमेय का एक संस्करण सिद्ध किया और स्कोलेम ने 1920 के दशक में इसे सामान्यीकृत और तेज किया। सघनता गोडेल द्वारा पूर्णता के एक परिणाम के रूप में प्राप्त की गई थी और माल्त्सेव द्वारा अगणनीय भाषाओं तक विस्तारित की गई थी, जिन्होंने पहली बार बीजगणितीय प्रमेयों को प्राप्त करने के लिए इसका फायदा उठाया, जिससे अनुप्रयुक्त मॉडल सिद्धांत का मार्ग प्रशस्त हुआ।
Key figures
- Leopold Loewenheim
- Thoralf Skolem
- Kurt Goedel
- Anatoly Maltsev
Related topics
Seminal works
- changkeisler1990
- marker2002
- hodges1993
Frequently asked questions
- अंकगणित का एक गैर-मानक मॉडल क्या है?
- सघनता द्वारा कोई भी अंकगणित के स्वयंसिद्धों में प्रत्येक संख्या से बड़ा एक स्थिरांक जोड़ सकता है; परिणामी सुसंगत सिद्धांत में मानक प्राकृतिक संख्याओं से परे अनंत तत्व शामिल एक मॉडल होता है। ऐसे मॉडल मानक मॉडल के समान ही प्रथम-क्रम के वाक्यों को संतुष्ट करते हैं।
- स्कोलेम विरोधाभास क्या है?
- डाउनवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय समुच्चय सिद्धांत का एक गणनीय मॉडल देता है, भले ही वह सिद्धांत यह सिद्ध करता है कि अगणनीय समुच्चय मौजूद हैं। इसका समाधान यह है कि अगणनीयता मॉडल के सापेक्ष है: एक समुच्चय जिसे मॉडल अगणनीय मानता है, उसका मॉडल के भीतर प्राकृतिक संख्याओं के साथ कोई द्विपक्षीय संबंध नहीं होता है, हालांकि एक बाहरी रूप से मौजूद होता है।