गाँठ सिद्धांत
गाँठ सिद्धांत इस बात का अध्ययन करता है कि वृत्तों को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कैसे अंतःस्थापित किया जा सकता है, ऐसे अपरिवर्तनीयों की तलाश करता है जो यह तय करते हैं कि दो गाँठें कब समान हैं और निम्न आयामों की सूक्ष्म टोपोलॉजी को पकड़ते हैं।
Definition
गाँठ सिद्धांत निम्न-आयामी टोपोलॉजी की वह शाखा है जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक या अधिक वृत्तों के अंतःस्थापन का अध्ययन करती है, जो परिवेशी आइसोटोपी तक होती है, उन्हें गणना योग्य अपरिवर्तनीयों के माध्यम से वर्गीकृत करती है।
Scope
यह क्षेत्र अंतरिक्ष में वृत्तों के अंतःस्थापन के रूप में गाँठों और लिंक्स को, उनके आरेखों और समतुल्यता उत्पन्न करने वाले रीडेमिस्टर चालों को, और उन्हें अलग करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अपरिवर्तनीयों के पदानुक्रम को शामिल करता है - गाँठ समूह, सीफर्ट जीनस और अलेक्जेंडर बहुपद जैसे शास्त्रीय अपरिवर्तनीयों से लेकर जोन्स और होमफ्लाई बहुपदों और उनके वर्गीकरण जैसे क्वांटम अपरिवर्तनीयों तक। ब्रैड समूह, जो क्लोजर के माध्यम से लिंक्स प्रस्तुत करते हैं, और त्रि- और चतुर्-आयामी टोपोलॉजी से संबंध शामिल हैं, जबकि सामान्य बीजगणितीय-टोपोलॉजी मशीनरी को उसके अपने क्षेत्र में माना जाता है।
Sub-topics
Core questions
- दो गाँठ आरेख कब समतुल्य होते हैं, और रीडेमिस्टर चालें इसका उत्तर कैसे देती हैं?
- कौन से अपरिवर्तनीय गाँठों को अलग कर सकते हैं, और वे कितने पूर्ण या अपूर्ण हैं?
- ब्रैड समूह और टेम्परली-लीब बीजगणित जैसी बीजगणितीय संरचनाएं गाँठ अपरिवर्तनीयों को कैसे उत्पन्न करती हैं?
- त्रि-आयामों में गाँठ सिद्धांत चार-मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी से कैसे जुड़ता है?
Key concepts
- गाँठें, लिंक्स, और परिवेशी आइसोटोपी
- गाँठ आरेख और रीडेमिस्टर चालें
- शास्त्रीय अपरिवर्तनीय: गाँठ समूह, जीनस, अलेक्जेंडर बहुपद
- क्वांटम अपरिवर्तनीय: जोन्स और होमफ्लाई बहुपद
- ब्रैड समूह और ब्रैड क्लोजर
Clinical relevance
गाँठ सिद्धांत डीएनए की टोपोलॉजी और टोपोआइसोमेरेज़ एंजाइमों की क्रिया, जोन्स बहुपद के पीछे के सांख्यिकीय यांत्रिकी, और क्वांटम कंप्यूटिंग और टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी में प्रश्नों को प्रकाशित करता है जहाँ गाँठ अपरिवर्तनीय भौतिक मात्राओं के रूप में उत्पन्न होते हैं।
History
टाइट के 19वीं सदी के गाँठों के सारणीकरण में उत्पन्न होकर, यह विषय 1920 और 1930 के दशक में रीडेमिस्टर की चालों और अलेक्जेंडर बहुपद के साथ कठोरता प्राप्त कर गया, और 1984 में ऑपरेटर बीजगणित से एक नए बहुपद अपरिवर्तनीय की जोन्स की खोज से बदल गया, जिससे क्वांटम अपरिवर्तनीयों का युग खुल गया।
Key figures
- Kurt Reidemeister
- John Conway
- Vaughan Jones
Related topics
Seminal works
- lickorish1997
- rolfsen1976
Frequently asked questions
- दो गाँठों को कब समान माना जाता है?
- जब एक को बिना काटे अंतरिक्ष में लगातार दूसरे में विकृत किया जा सकता है - औपचारिक रूप से, जब वे एक परिवेशी आइसोटोपी से संबंधित होते हैं, समतुल्य रूप से जब उनके आरेख रीडेमिस्टर चालों के एक परिमित अनुक्रम से भिन्न होते हैं।
- क्या कोई एक अपरिवर्तनीय है जो सभी गाँठों को वर्गीकृत करता है?
- कोई पूर्ण, आसानी से गणना योग्य अपरिवर्तनीय ज्ञात नहीं है। विभिन्न अपरिवर्तनीय विभिन्न विशेषताओं का पता लगाते हैं, और जोन्स बहुपद जैसे मजबूत अपरिवर्तनीय भी सभी अलग-अलग गाँठों को अलग करने में विफल रहते हैं, जिससे वर्गीकरण की समस्या खुली रहती है।