होमोटॉपी सिद्धांत

होमोटॉपी सिद्धांत निरंतर विरूपण तक के स्थानों का अध्ययन करता है, जो मौलिक समूह को उच्च होमोटॉपी समूहों तक सामान्यीकृत करता है और फ़ाइब्रेशन, कोफ़ाइब्रेशन और CW सन्निकटन के माध्यम से मानचित्रों को व्यवस्थित करता है।

Definition

होमोटॉपी सिद्धांत टोपोलॉजिकल स्थानों और मानचित्रों का होमोटॉपी तक अध्ययन करता है — निरंतर विरूपण — उच्च होमोटॉपी समूहों (गोलों से मानचित्रों के होमोटॉपी वर्ग) और फ़ाइब्रेशन और CW कॉम्प्लेक्स की संरचनाओं का उपयोग करके जो इन अपरिवर्तनीयों को सुगम बनाते हैं।

Scope

यह विषय उच्च होमोटॉपी समूहों को परिभाषित करता है, जो कम से कम दो आयामों के लिए अबेलियन होते हैं, और उन उपकरणों को विकसित करता है जो उन्हें संगणित और संबंधित करते हैं: फ़ाइब्रेशन और एक फ़ाइब्रेशन का लंबा सटीक अनुक्रम, होमोटॉपी और समरूपता को जोड़ने वाला हुरेविच प्रमेय, CW कॉम्प्लेक्स के कमजोर समतुल्य पर व्हाइटहेड का प्रमेय, और बाधा सिद्धांत। यह गोले के होमोटॉपी समूहों की (बड़े पैमाने पर खुली) समस्या, सह-समरूपता का प्रतिनिधित्व करने वाले आइलेनबर्ग-मैकलेन स्थानों, और मॉडल-श्रेणीगत दृष्टिकोण का सर्वेक्षण करता है जो होमोटॉपी सिद्धांत को अमूर्त रूप से फ्रेम करता है।

Core questions

• उच्च होमोटॉपी समूह मौलिक समूह का विस्तार कैसे करते हैं, और वे एक आयाम से ऊपर अबेलियन क्यों होते हैं?
• एक फ़ाइब्रेशन का लंबा सटीक अनुक्रम सरल टुकड़ों से होमोटॉपी समूहों की गणना कैसे करता है?
• हुरेविच प्रमेय पहले गैर-शून्य होमोटॉपी समूह और समरूपता के साथ उसके संबंध के बारे में क्या कहता है?
• गोलों के होमोटॉपी समूह इतने कठिन क्यों हैं, और कौन सी संरचना उन्हें व्यवस्थित करती है?

Key concepts

• उच्च होमोटॉपी समूह और उनकी अबेलियन संरचना
• फ़ाइब्रेशन, कोफ़ाइब्रेशन, और एक फ़ाइब्रेशन का लंबा सटीक अनुक्रम
• हुरेविच प्रमेय और व्हाइटहेड का प्रमेय
• आइलेनबर्ग-मैकलेन स्थान और सह-समरूपता की प्रतिनिधित्व क्षमता
• CW सन्निकटन और बाधा सिद्धांत

Clinical relevance

होमोटॉपी सिद्धांत आधुनिक टोपोलॉजी की अमूर्त रीढ़ है और स्थिर घटनाओं की भाषा प्रदान करता है, बंडलों और गेज सिद्धांतों के लिए स्थानों का वर्गीकरण करता है, और होमोटॉपिकल विधियाँ अब बीजगणित, बीजगणितीय ज्यामिति और गणितीय भौतिकी में उपयोग की जाती हैं।

History

हुरेविच ने 1930 के दशक में उच्च होमोटॉपी समूहों की शुरुआत की; सेरे के स्पेक्ट्रल अनुक्रम और व्हाइटहेड व अन्य के काम ने संगणना को संभव बनाया, और क्विलन के मॉडल श्रेणियों (1967) ने होमोटॉपी सिद्धांत को एक ऐसे ढांचे में अमूर्त कर दिया जो टोपोलॉजी से कहीं आगे लागू होता है।

Key figures

• Witold Hurewicz
• J. H. C. Whitehead
• Daniel Quillen

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

उच्च होमोटॉपी समूह अबेलियन क्यों होते हैं लेकिन मौलिक समूह का होना आवश्यक नहीं है?

कम से कम दो आयामों के लिए, एक दूसरे के अतीत में दो गोलाकारों को Eckmann-Hilton तर्क के माध्यम से कम्यूट करने के लिए पर्याप्त जगह होती है, जिससे क्रमविनिमेयता (commutativity) मजबूर होती है; एक आयाम में लूपों को इस तरह से एक दूसरे के अतीत में नहीं खिसकाया जा सकता है।

क्या गोलों के होमोटॉपी समूह ज्ञात हैं?

केवल आंशिक रूप से। भारी प्रयासों के बावजूद, वे केवल आयामों की एक सीमा में संगणित किए जाते हैं, और उन्हें सामान्य रूप से निर्धारित करना टोपोलॉजी में सबसे गहरी खुली समस्याओं में से एक बना हुआ है।