मूल समूह और आवरण समष्टियाँ
मूल समूह यह दर्ज करता है कि किसी समष्टि में लूप्स को कैसे संकुचित किया जा सकता है और कैसे नहीं, और आवरण समष्टि सिद्धांत इसके उपसमूहों को मूल के चारों ओर लपेटने वाली समष्टियों के एक पूर्ण ज्यामितीय शब्दकोश में अनुवादित करता है।
Definition
एक इंगित समष्टि का मूल समूह वह समूह है जिसके तत्व एक बिंदु पर आधारित लूप्स के समरूपता वर्ग होते हैं, जिसमें संयोजन एक संक्रिया के रूप में होता है; एक आवरण समष्टि एक ऐसा मानचित्र है जो स्थानीय रूप से आधार की प्रतियों के एक तुच्छ ढेर के रूप में होता है, और इसका सिद्धांत ऐसे मानचित्रों को मूल समूह के उपसमूहों से संबंधित करता है।
Scope
यह विषय पथों की समरूपता, एक बिंदु पर आधारित लूप वर्गों के समूह के रूप में मूल समूह, और वैन कैम्पेन प्रमेय के माध्यम से इसकी गणना का परिचय देता है। यह आवरण समष्टियों, उत्थापन मानदंड, और मूल समूह के उपसमूहों तथा जुड़े हुए आवरणों के बीच गैलोज़-सदृश पत्राचार को विकसित करता है, जिसमें सार्वभौमिक आवरण और डेक रूपांतरण शामिल हैं। वृत्त के आवरणों के वर्गीकरण और ग्राफों तथा सतहों के मूल समूहों की गणना जैसे अनुप्रयोग शामिल हैं।
Core questions
- मूल समूह उन छेदों का पता कैसे लगाता है जो लूप्स को संकुचित होने से रोकते हैं?
- वैन कैम्पेन प्रमेय अतिव्यापी टुकड़ों से एक समष्टि के मूल समूह का निर्माण कैसे करता है?
- जुड़े हुए आवरण समष्टियों और मूल समूह के उपसमूहों के बीच सटीक पत्राचार क्या है?
- एक मानचित्र आवरण के माध्यम से कब उठता है, और सार्वभौमिक आवरण क्या भूमिका निभाता है?
Key concepts
- पथों की समरूपता और लूप संयोजन
- मूल समूह और आधारबिंदु-संरक्षण मानचित्रों के तहत इसकी क्रियात्मकता
- वैन कैम्पेन प्रमेय
- आवरण समष्टियाँ, उत्थापन मानदंड, और डेक रूपांतरण
- सार्वभौमिक आवरण और आवरणों के लिए गैलोज़ पत्राचार
Clinical relevance
मूल समूह पहला और सबसे सुलभ बीजगणितीय अपरिवर्तनीय है, जो वृत्त को डिस्क से अलग करता है और मोनोड्रोमी, रीमैन सतहों के सिद्धांत, और फ्लैट बंडलों के वर्गीकरण को रेखांकित करता है; आवरण समष्टि सिद्धांत गैलोज़ सिद्धांत और समूह क्रियाओं द्वारा भागफलों के लिए टोपोलॉजिकल मॉडल है।
History
पोइंकेयर ने एनालिसिस सिटस (1895) में मूल समूह का परिचय दिया; 1930 के दशक के सीफर्ट-वैन कैम्पेन प्रमेय ने इसे ग्लूइंग द्वारा गणना योग्य बनाया, और आवरणों और उपसमूहों के बीच व्यवस्थित पत्राचार, जिसे डेक रूपांतरणों के माध्यम से औपचारिक रूप दिया गया, ने गैलोज़ सिद्धांत के साथ सादृश्य स्थापित किया जो अब पाठ्यक्रम में मानक है।
Key figures
- Henri Poincaré
- Egbert van Kampen
- Allen Hatcher
Related topics
Seminal works
- hatcher2002
- bredon1993
Frequently asked questions
- वृत्त का मूल समूह पूर्णांक क्यों है?
- वृत्त पर एक लूप को समरूपता तक इस बात से वर्गीकृत किया जाता है कि यह कितनी बार घूमता है, दिशा के लिए चिह्न के साथ; यह घुमाव संख्या संयोजन के तहत योगात्मक होती है, जिससे पूर्णांकों के साथ एक समरूपता प्राप्त होती है।
- सार्वभौमिक आवरण क्या है?
- यह एक (उपयुक्त) समष्टि का सरलता से जुड़ा हुआ आवरण समष्टि है; यह आवरण-समष्टि शब्दकोश में तुच्छ उपसमूह से मेल खाता है और मूल समूह को अपने डेक रूपांतरणों के समूह के रूप में वहन करता है।