गाँठ बहुपद (Knot Polynomials)

गाँठ बहुपद प्रत्येक गाँठ या लिंक को एक बहुपद प्रदान करते हैं जो विरूपण से अपरिवर्तित रहता है, जो गहरी टोपोलॉजिकल जानकारी को गणना योग्य बीजगणित में समाहित करता है और गाँठों को ऑपरेटर बीजगणित और क्वांटम भौतिकी से जोड़ता है।

Definition

एक गाँठ बहुपद एक बहुपद-मूल्यवान गाँठ अपरिवर्तनीय है, जिसे आमतौर पर एक स्केइन संबंध के माध्यम से पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाता है जो एक ही क्रॉसिंग पर भिन्न होने वाली गाँठों के बहुपदों को जोड़ता है, जिससे इसे किसी भी आरेख से गणना योग्य बनाया जा सकता है।

Scope

यह विषय प्रमुख बहुपद अपरिवर्तनीयों को विकसित करता है: गाँठ की समरूपता या सीफर्ट मैट्रिक्स से अलेक्जेंडर बहुपद, टेम्परले-लीब बीजगणित से उत्पन्न होने वाले स्केइन संबंध द्वारा परिभाषित ब्रैकेट और जोन्स बहुपद, और उन्हें सामान्यीकृत करने वाले दो-चर वाले होम्फली-पीटी (HOMFLY-PT) और कॉफमैन बहुपद। यह स्केइन संबंधों को गणना तंत्र के रूप में, गाँठों को अलग करने में प्रत्येक बहुपद की शक्तियों और ज्ञात सीमाओं को, और खोवानोव समरूपता द्वारा जोन्स बहुपद के वर्गीकरण को मानता है।

Core questions

• एक स्केइन संबंध सरल लिंक्स पर अपने मानों से एक बहुपद अपरिवर्तनीय को कैसे निर्धारित करता है?
• अलेक्जेंडर और जोन्स बहुपद कौन सी विभिन्न टोपोलॉजिकल जानकारी एन्कोड करते हैं?
• वॉन न्यूमैन बीजगणित से उत्पन्न होने वाले जोन्स बहुपद ने भौतिकी से अप्रत्याशित संबंध क्यों प्रकट किए?
• बहुपद अपरिवर्तनीयों की सीमाएँ क्या हैं, और वर्गीकरण उन्हें कैसे मजबूत करता है?

Key concepts

• सीफर्ट मैट्रिक्स से अलेक्जेंडर बहुपद
• कॉफमैन ब्रैकेट और जोन्स बहुपद
• एक गणना नियम के रूप में स्केइन संबंध
• होम्फली-पीटी (HOMFLY-PT) और कॉफमैन दो-चर बहुपद
• खोवानोव समरूपता और वर्गीकरण

Clinical relevance

जोन्स बहुपद ने गाँठ सिद्धांत को सांख्यिकीय यांत्रिकी, यांग-बैक्सटर समीकरण, और टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से जोड़ा, और गाँठ बहुपद क्वांटम कंप्यूटिंग और जैविक और भौतिक तंतुओं के उलझाव को अलग करने के लिए प्रासंगिक अपरिवर्तनीय प्रदान करते हैं।

History

अलेक्जेंडर ने 1928 में पहला गाँठ बहुपद प्रस्तुत किया; वॉन न्यूमैन बीजगणित के अध्ययन के माध्यम से खोजा गया जोन्स का 1985 का बहुपद, तेजी से होम्फली-पीटी (HOMFLY-PT) और कॉफमैन बहुपदों में सामान्यीकृत किया गया और बाद में खोवानोव द्वारा वर्गीकृत किया गया, जिसने क्वांटम अपरिवर्तनीयों के इर्द-गिर्द क्षेत्र को नया रूप दिया।

Key figures

• James W. Alexander
• Vaughan Jones
• Mikhail Khovanov

Seminal works

• lickorish1997
• jones1985

Frequently asked questions

स्केइन संबंध क्या है?

यह एक पुनरावर्ती पहचान है जो एक लिंक के बहुपद को उन लिंक्स से संबंधित करती है जो एक ही क्रॉसिंग को बदलकर या चिकना करके प्राप्त होते हैं; इसे दोहराने से किसी भी आरेख को सरल अननॉटेड (unknotted) टुकड़ों में कम किया जा सकता है जिनके मान ज्ञात होते हैं।

क्या जोन्स बहुपद अननॉट (unknot) का पता लगाता है?

यह अज्ञात है कि क्या जोन्स बहुपद प्रत्येक गैर-तुच्छ गाँठ को अननॉट से अलग करता है; यह एक उल्लेखनीय खुली समस्या बनी हुई है, जो यह दर्शाती है कि शक्तिशाली बहुपद अपरिवर्तनीय भी पूर्ण नहीं हो सकते हैं।