ब्रेड समूह

ब्रेड समूह यह एन्कोड करता है कि किस्में (strands) कैसे आपस में गुंथी हो सकती हैं, जिससे एक बीजगणितीय संरचना बनती है जिसके समापन (closures) से प्रत्येक गाँठ (knot) और कड़ी (link) उत्पन्न होती है और जिसके निरूपण (representations) से गाँठ अपरिवर्तनीय (knot invariants) प्राप्त होते हैं।

Definition

n किस्में पर ब्रेड समूह जनरेटर के साथ एक समूह है जो आसन्न किस्मों को आपस में बदलता है, ब्रेड संबंधों के अधीन; यह एक साथ समतल में n बिंदुओं के विन्यास स्थान का मौलिक समूह और n-छिद्रित डिस्क का मैपिंग क्लास समूह है।

Scope

यह विषय आर्टिन ब्रेड समूह को जनरेटर और संबंधों के माध्यम से, विन्यास स्थान (configuration space) के मौलिक समूह (fundamental group) के रूप में और छिद्रित डिस्क (punctured disk) के मैपिंग क्लास समूह (mapping class group) के रूप में उसके विवरण को, और गारसाइड सामान्य रूपों (Garside normal forms) के माध्यम से हल की गई शब्द और संयुग्मन समस्याओं (word and conjugacy problems) को प्रस्तुत करता है। यह अलेक्जेंडर के प्रमेय (प्रत्येक कड़ी एक ब्रेड समापन है) और मार्कोव के प्रमेय (कौन सी ब्रेड एक ही कड़ी में समाप्त होती है) के माध्यम से ब्रेड और कड़ियों के बीच संबंध विकसित करता है, और बुराऊ और टेम्परले-लीब निरूपण जैसे निरूपण जो जोन्स बहुपद (Jones polynomial) को जन्म देते हैं।

Core questions

• ब्रेड समूह को कौन से संबंध परिभाषित करते हैं, और वे किस्मों के आपस में गुंथने को कैसे पकड़ते हैं?
• अलेक्जेंडर का प्रमेय प्रत्येक कड़ी को ब्रेड के समापन के रूप में कैसे साकार करता है?
• मार्कोव के प्रमेय द्वारा उत्तर दिए गए अनुसार, कौन सी ब्रेड एक ही कड़ी में समाप्त होती है?
• ब्रेड समूह के निरूपण जोन्स बहुपद जैसे गाँठ अपरिवर्तनीय कैसे उत्पन्न करते हैं?

Key concepts

• आर्टिन जनरेटर और ब्रेड संबंध
• विन्यास स्थान और मैपिंग क्लास समूह के रूप में ब्रेड समूह
• ब्रेड और कड़ियों को जोड़ने वाले अलेक्जेंडर और मार्कोव के प्रमेय
• गारसाइड सामान्य रूप और शब्द समस्या
• बुराऊ और टेम्परले-लीब निरूपण

Clinical relevance

ब्रेड समूह क्वांटम गाँठ अपरिवर्तनीयों के निर्माण के लिए, मैपिंग क्लास समूहों और सतह टोपोलॉजी के सिद्धांत के लिए, और टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए केंद्रीय हैं, जहाँ एनियनों (anyons) की ब्रेडिंग क्वांटम गेट्स को साकार करती है।

History

आर्टिन ने अपने 1925 और 1947 के पत्रों में ब्रेड समूह को परिभाषित और अध्ययन किया, जनरेटर, संबंधों और शब्द समस्या को स्थापित किया; मार्कोव के प्रमेय और बाद के निरूपण-सैद्धांतिक निर्माणों ने ब्रेड को गाँठ अपरिवर्तनीयों से जोड़ा और, जोन्स के माध्यम से, ऑपरेटर बीजगणित (operator algebras) से जोड़ा।

Key figures

• Emil Artin
• Andrey Markov Jr.
• Vladimir Turaev

Seminal works

• kassel2008
• artin1947

Frequently asked questions

ब्रेड गाँठों से कैसे संबंधित हैं?

प्रत्येक किस्म के शीर्ष को उसके निचले भाग से जोड़कर एक ब्रेड को बंद करने से एक गाँठ या कड़ी बनती है; अलेक्जेंडर का प्रमेय कहता है कि प्रत्येक कड़ी इस तरह से उत्पन्न होती है, और मार्कोव का प्रमेय ठीक-ठीक बताता है कि कब दो ब्रेड एक ही कड़ी उत्पन्न करती हैं।

ब्रेड समूह क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए क्यों प्रासंगिक हैं?

टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटिंग में, क्वांटम जानकारी एनियनों में संग्रहीत होती है और उन्हें ब्रेड करके संसाधित की जाती है; ब्रेड समूह इन परिचालनों को नियंत्रित करता है, जिससे इसके निरूपण दोष-सहिष्णु क्वांटम गेट्स के लिए एक मॉडल बन जाते हैं।