डिफरेंशिएबल मैनिफोल्ड्स

एक डिफरेंशिएबल मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्पेस जैसा दिखता है और चिकने निर्देशांक परिवर्तनों द्वारा एक साथ जुड़ा होता है, जिससे यह वह सेटिंग बन जाता है जहाँ घुमावदार स्थानों पर कैलकुलस किया जा सकता है।

Definition

आयाम n का एक डिफरेंशिएबल (चिकना) मैनिफोल्ड एक दूसरा-गणनीय हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस है जो n-आयामी यूक्लिडियन स्पेस के खुले उपसमुच्चयों के लिए चार्ट के एक एटलस से सुसज्जित है जिसके संक्रमण मानचित्र अनंत रूप से डिफरेंशिएबल होते हैं।

Scope

यह विषय चिकने संक्रमण मानचित्रों (smooth transition maps) के साथ चार्ट के एटलस (atlases) के माध्यम से मैनिफोल्ड्स को परिभाषित करता है, चिकनी संरचनाओं (smooth structures) को विकसित करता है, और बुनियादी निर्माणों का उपचार करता है: सबमैनिफोल्ड्स (submanifolds), रैंक और नियमित-मूल्य प्रमेय जो स्तर सेटों को मैनिफोल्ड्स के रूप में देते हैं, एकता के विभाजन (partitions of unity), और यूक्लिडियन स्पेस में एम्बेडिंग (व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय)। यह टोपोलॉजिकल और चिकनी संरचनाओं के बीच अंतर, विदेशी चिकनी संरचनाओं (exotic smooth structures) के आश्चर्यजनक अस्तित्व, और संगत समूह संचालन (compatible group operations) वाले मैनिफोल्ड्स के रूप में लाई समूहों (Lie groups) का परिचय देता है।

Core questions

• चार्ट और चिकने संक्रमण मानचित्र कैलकुलस को घुमावदार स्थान पर स्पष्ट रूप से कैसे ले जाने देते हैं?
• एक चिकने मानचित्र का एक स्तर सेट एक प्राकृतिक मैनिफोल्ड संरचना कब धारण करता है?
• प्रत्येक चिकने मैनिफोल्ड को किसी यूक्लिडियन स्पेस में क्यों एम्बेड किया जा सकता है?
• एकल टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड असमान चिकनी संरचनाओं को कैसे स्वीकार कर सकता है?

Key concepts

• चार्ट, एटलस, और चिकने संक्रमण मानचित्र
• चिकनी संरचनाएं और सबमैनिफोल्ड्स
• नियमित मूल्य प्रमेय और मैनिफोल्ड्स के रूप में स्तर सेट
• एकता के विभाजन और व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय
• टोपोलॉजिकल बनाम चिकनी संरचना और विदेशी मैनिफोल्ड्स

Clinical relevance

मैनिफोल्ड्स आधुनिक ज्यामिति और भौतिकी के लिए सार्वभौमिक मंच हैं: यांत्रिकी में विन्यास और चरण स्थान, सामान्य सापेक्षता में स्पेसटाइम, और समरूपता में लाई समूह सभी मैनिफोल्ड्स हैं, और मिल्नोर द्वारा उजागर की गई चिकनी-संरचना की सूक्ष्मताओं ने बीसवीं सदी की टोपोलॉजी को नया रूप दिया।

History

रीमैन की 1854 की मैनिफोल्ड की धारणा को 20वीं सदी की शुरुआत में एटलस द्वारा परिभाषा के माध्यम से कठोर बनाया गया था; 1930 के दशक के व्हिटनी के एम्बेडिंग प्रमेयों ने अमूर्त सिद्धांत को आधार दिया, और मिल्नोर की 1956 की विदेशी 7-स्फीयर की खोज ने खुलासा किया कि चिकनी संरचना टोपोलॉजी से परे जानकारी रखती है।

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

एक मैनिफोल्ड को केवल टोपोलॉजिकल के बजाय डिफरेंशिएबल क्या बनाता है?

एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड को केवल यूक्लिडियन स्पेस के लिए चार्ट की आवश्यकता होती है; एक डिफरेंशिएबल मैनिफोल्ड को अतिरिक्त रूप से ओवरलैपिंग चार्ट के बीच संक्रमण मानचित्रों को चिकना होने की आवश्यकता होती है, ताकि मैनिफोल्ड पर एक चिकने फ़ंक्शन की धारणा अच्छी तरह से परिभाषित हो।

एक विदेशी स्फीयर क्या है?

यह एक मैनिफोल्ड है जो मानक स्फीयर के लिए होमियोमॉर्फिक है लेकिन डिफरेंशिएबल नहीं है; 7-स्फीयर पर ऐसी संरचनाओं की मिल्नोर की खोज ने दिखाया कि चिकनी संरचनाएं अंतर्निहित टोपोलॉजी द्वारा निर्धारित नहीं होती हैं।