सामान्य टोपोलॉजी
सामान्य टोपोलॉजी निकटता की धारणा — खुले समुच्चय — और उनके बीच निरंतर मानचित्रों द्वारा परिभाषित स्थानों का अध्ययन करती है, जो ज्यामिति और विश्लेषण के बाकी हिस्सों के लिए सीमाओं, अभिसरण और निरंतरता की मूलभूत भाषा प्रदान करती है।
Definition
एक समुच्चय X पर एक टोपोलॉजी उपसमुच्चयों (खुले समुच्चय) का एक संग्रह है जिसमें रिक्त समुच्चय और X शामिल हैं और मनमानी संघों और परिमित प्रतिच्छेदों के तहत बंद हैं; सामान्य टोपोलॉजी ऐसे स्थानों और उनके बीच निरंतर कार्यों का अध्ययन है।
Scope
यह क्षेत्र टोपोलॉजिकल स्थानों के अमूर्त ढांचे को शामिल करता है: टोपोलॉजी को कैसे निर्दिष्ट किया जाता है (खुले समुच्चय, आधार, उप-आधार), दूरी के संदर्भ के बिना निरंतरता और होमियोमॉर्फिज्म को कैसे परिभाषित किया जाता है, और वैश्विक गुण जो स्थानों को अलग करते हैं, मुख्य रूप से सघनता, संबद्धता और पृथक्करण पदानुक्रम। इसमें उत्पाद, उप-स्थान और भागफल निर्माण और मेट्रिज़ेशन परिणाम शामिल हैं जो अमूर्त टोपोलॉजी को मीट्रिक स्थानों से जोड़ते हैं। इसमें बीजगणितीय टोपोलॉजी के बीजगणितीय अपरिवर्तनीय और विभेदक ज्यामिति की सुचारु संरचना शामिल नहीं है, जो इस नींव पर निर्मित होते हैं।
Sub-topics
Core questions
- कौन सा न्यूनतम डेटा किसी मीट्रिक से स्वतंत्र, एक समुच्चय पर निरंतरता की धारणा को निर्दिष्ट करता है?
- कौन से टोपोलॉजिकल गुण निरंतर मानचित्रों, उत्पादों, उप-स्थानों और भागफलों के तहत संरक्षित रहते हैं?
- एक अमूर्त टोपोलॉजिकल स्थान को मीट्रिक स्थान के रूप में कब महसूस किया जा सकता है (मेट्रिज़ेशन)?
- सघनता और संबद्धता एक स्थान के वैश्विक आकार और परिमितता व्यवहार को कैसे एन्कोड करते हैं?
Key concepts
- खुले और बंद समुच्चय, प्रतिवेश, आंतरिक और संवरण
- एक टोपोलॉजी के लिए आधार और उप-आधार
- निरंतर मानचित्र, होमियोमॉर्फिज्म और टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय
- उप-स्थान, उत्पाद और भागफल टोपोलॉजी
- सघनता, संबद्धता और पृथक्करण स्वयंसिद्ध
Clinical relevance
सामान्य टोपोलॉजी आधुनिक गणित का सामान्य आधार है: यह विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली अभिसरण और निरंतरता का कठोर अर्थ प्रदान करती है, कार्यात्मक विश्लेषण और विभेदक ज्यामिति के अंतर्निहित स्थान, और बीजगणितीय टोपोलॉजी में हर जगह मानी जाने वाली बिंदु-समुच्चय की पूर्व-आवश्यकताएं।
History
बिंदु-समुच्चय टोपोलॉजी 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत के प्रयासों से विकसित हुई, जिसमें वास्तविक रेखा से निरंतरता की धारणा को अमूर्त किया गया, जो हॉसडॉर्फ के 1914 के टोपोलॉजिकल स्थानों के स्वयंसिद्धीकरण में क्रिस्टलीकृत हुई और केली (1955) और मुनक्रेश जैसे मध्य-शताब्दी के ग्रंथों द्वारा संहिताबद्ध मानकीकृत पाठ्यक्रम में परिपक्व हुई।
Key figures
- Felix Hausdorff
- James Munkres
- John L. Kelley
Related topics
Seminal works
- munkres2000
- kelley1955
Frequently asked questions
- सामान्य टोपोलॉजी बीजगणितीय टोपोलॉजी से कैसे भिन्न है?
- सामान्य टोपोलॉजी बिंदु-समुच्चय की नींव विकसित करती है — खुले समुच्चय, निरंतरता, सघनता, संबद्धता — जबकि बीजगणितीय टोपोलॉजी स्थानों को विरूपण तक अलग करने के लिए समरूपता और समरूपता समूहों जैसे बीजगणितीय अपरिवर्तनीय असाइन करती है।
- दूरी के बजाय खुले समुच्चयों के साथ टोपोलॉजी को क्यों परिभाषित करें?
- कई महत्वपूर्ण स्थानों (भागफल, फलन स्थान, अमूर्त उत्पाद स्थान) में कोई प्राकृतिक मीट्रिक नहीं होता है, फिर भी उनमें निरंतरता की एक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा होती है; खुले-समुच्चय के स्वयंसिद्ध इस पूरी तरह से सामान्य सेटिंग में निरंतरता को पकड़ते हैं।