क्षेत्र विस्तार

एक क्षेत्र विस्तार एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें एक छोटा क्षेत्र उपक्षेत्र के रूप में समाहित होता है, जो क्षेत्र सिद्धांत की मूल वस्तु है जिसका आकार सदिश समष्टि के रूप में उसकी डिग्री से मापा जाता है।

Definition

एक क्षेत्र विस्तार एक क्षेत्र और एक उपक्षेत्र से मिलकर बना एक युग्म है; समतुल्य रूप से, बड़े क्षेत्र को छोटे क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि के रूप में माना जाता है, और उस सदिश समष्टि का आयाम विस्तार की डिग्री होती है।

Scope

यह विषय विस्तार की डिग्री, बीजगणितीय बनाम अनुवांशिक तत्व, सरल विस्तार और न्यूनतम बहुपद, डिग्री के लिए टॉवर नियम, परिमित रूप से उत्पन्न और बीजगणितीय विस्तार, और शास्त्रीय सीधे किनारे-और-कंपास निर्माणशीलता के अनुप्रयोग को शामिल करता है।

Core questions

• एक क्षेत्र विस्तार के आकार को कैसे मापा जाता है?
• एक तत्व आधार क्षेत्र पर कब बीजगणितीय होता है, और उसका न्यूनतम बहुपद क्या है?
• विस्तारों के एक टॉवर में डिग्री कैसे गुणा होती हैं?
• क्षेत्र सिद्धांत शास्त्रीय निर्माण समस्याओं को कैसे हल करता है?

Key theories

डिग्री और टॉवर नियम

एक विस्तार की डिग्री आधार क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि के रूप में उसका आयाम है, और विस्तारों के एक टॉवर में डिग्री गुणा होती हैं, जिससे डिग्री एक मौलिक योगात्मक-घातांक अपरिवर्तनीय बन जाती है।

एक बीजगणितीय तत्व का न्यूनतम बहुपद

एक क्षेत्र पर बीजगणितीय एक तत्व एक अद्वितीय मोनिक अलघुकरणीय बहुपद का मूल होता है, जिसे न्यूनतम बहुपद कहते हैं, जिसकी डिग्री उसके द्वारा उत्पन्न सरल विस्तार की डिग्री के बराबर होती है।

निर्माणशीलता

एक लंबाई केवल तभी सीधे किनारे और कंपास द्वारा निर्माण योग्य होती है जब वह डिग्री-दो विस्तारों के एक टॉवर में स्थित हो, इसलिए उसके द्वारा उत्पन्न विस्तार की डिग्री दो की घात होनी चाहिए, जिससे घन को दोगुना करने और एक सामान्य कोण को तीन भागों में विभाजित करने की असंभवता का समाधान होता है।

Clinical relevance

क्षेत्र विस्तार बहुपदों के मूलों का अध्ययन करने और नई संख्या प्रणालियों का निर्माण करने के लिए एक ढाँचा प्रदान करते हैं, जिसमें सम्मिश्र संख्याएँ, बीजगणितीय संख्या क्षेत्र और परिमित क्षेत्र शामिल हैं। वे शास्त्रीय ग्रीक निर्माण समस्याओं को डिग्री गणना में बदलते हैं और गैलोज सिद्धांत का आधार बनते हैं।

History

क्रोनकर ने दिखाया कि कैसे एक बहुपद के मूल को एक क्षेत्र में बहुपद वलय को भागफल करके जोड़ा जा सकता है, जिससे विस्तारों को एक बीजगणितीय निर्माण मिलता है। स्टाइनिट्ज़ के 1910 के संस्मरण ने क्षेत्रों और उनके विस्तारों के अमूर्त सिद्धांत का निर्माण किया, और वांट्ज़ेल ने पहले ही कई शास्त्रीय निर्माणों की असंभवता को साबित करने के लिए डिग्री तर्कों का उपयोग किया था।

Key figures

• Leopold Kronecker
• Ernst Steinitz
• Évariste Galois
• Pierre Wantzel

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

एक क्षेत्र विस्तार की डिग्री क्या मापती है?

यह छोटे क्षेत्र पर बड़े क्षेत्र का एक सदिश समष्टि के रूप में आयाम है। उदाहरण के लिए, एक वर्गमूल को जोड़कर एक डिग्री-दो विस्तार प्राप्त किया जाता है, और जब विस्तारों को एक टॉवर में स्टैक किया जाता है तो डिग्री गुणा होती हैं।

यह कोण के त्रिभाजन को कैसे हल करता है?

निर्माण योग्य बिंदु दो की घात की डिग्री के विस्तार उत्पन्न करते हैं। एक सामान्य कोण को तीन भागों में विभाजित करने के लिए एक अलघुकरणीय घन को हल करने की आवश्यकता होगी, जिससे एक डिग्री-तीन विस्तार मिलेगा, जो दो की घात नहीं है, इसलिए यह सीधे किनारे और कंपास से असंभव है।