संख्या क्षेत्र और पूर्णांकों के वलय

एक संख्या क्षेत्र परिमेय संख्याओं का एक परिमित विस्तार है, और इसके पूर्णांकों का वलय सामान्य पूर्णांकों का प्राकृतिक अंकगणितीय अनुरूप है — एक डेडेकाइंड डोमेन जिसमें आदर्श (ideals), न कि तत्व, विशिष्ट रूप से गुणनखंडित होते हैं।

Definition

एक संख्या क्षेत्र परिमेय संख्याओं का एक परिमित-डिग्री क्षेत्र विस्तार है; इसके पूर्णांकों के वलय में वे तत्व होते हैं जो पूर्णांक गुणांकों वाले मोनिक बहुपदों के मूल होते हैं, जो एक डेडेकाइंड डोमेन बनाते हैं।

Scope

यह विषय बीजगणितीय संख्याओं और बीजगणितीय पूर्णांकों, संख्या क्षेत्रों और उनकी डिग्री व अंतःस्थापन (embeddings), क्षेत्र में पूर्णांकों के समाकल संवरक (integral closure) के रूप में पूर्णांकों के वलय, समाकल आधारों (integral bases) और क्षेत्र विविक्तकर (field discriminant), डेडेकाइंड डोमेन के रूप में पूर्णांकों के वलय के लक्षण वर्णन, और अ-शून्य आदर्शों के अभाज्य आदर्शों में अद्वितीय गुणनखंडन को शामिल करता है।

Core questions

• एक संख्या क्षेत्र के कौन से तत्व पूर्णांकों के रूप में गिने जाते हैं, और वे एक वलय क्यों बनाते हैं?
• एक समाकल आधार क्या है, और एक संख्या क्षेत्र का विविक्तकर कैसे परिभाषित और परिकलित किया जाता है?
• कौन से गुण पूर्णांकों के वलय को एक डेडेकाइंड डोमेन बनाते हैं?
• आदर्शों का अद्वितीय गुणनखंडन तत्वों के अद्वितीय गुणनखंडन का स्थान कैसे लेता है?

Key theories

पूर्णांकों का वलय और समाकल संवरक

एक संख्या क्षेत्र में बीजगणितीय पूर्णांक इसके पूर्णांकों का वलय बनाते हैं, जो क्षेत्र में पूर्णांकों का समाकल संवरक है; यह क्षेत्र डिग्री के बराबर रैंक का एक मुक्त मॉड्यूल है, जिसमें एक समाकल आधार होता है।

डेडेकाइंड डोमेन और आदर्शों का गुणनखंडन

पूर्णांकों के वलय नोएथेरियन (Noetherian), समाकल रूप से संवृत (integrally closed), एक आयाम के होते हैं — अर्थात्, डेडेकाइंड डोमेन — और किसी भी डेडेकाइंड डोमेन में प्रत्येक अ-शून्य आदर्श अभाज्य आदर्शों में विशिष्ट रूप से गुणनखंडित होता है।

विविक्तकर

एक समाकल आधार का विविक्तकर क्षेत्र का एक पूर्णांक अपरिवर्तनीय (integer invariant) है जो शाखित अभाज्य संख्याओं (ramified primes) का पता लगाता है और मिंकोव्स्की की सीमा (Minkowski's bound) और हर्मिट के परिमितता प्रमेय (Hermite's finiteness theorem) के माध्यम से क्षेत्र को बाधित करता है।

Clinical relevance

पूर्णांकों के वलय और उनकी आदर्श संरचना संख्या क्षेत्र छलनी गुणनखंडन एल्गोरिथम और आदर्श-जाली क्रिप्टोग्राफी (ideal-lattice cryptography) के लिए एक सेटिंग है, जहाँ एक पूर्णांक वलय का अंकगणित कठिन समस्याओं और कुशल संचालन दोनों का स्रोत है।

History

कम्मेर ने 1840 के दशक में साइक्लोटोमिक पूर्णांकों और आदर्श संख्याओं के साथ काम किया। डेडेकाइंड ने, 1870 के दशक से डिरिचलेट के व्याख्यानों के पूरक में, पूर्णांकों के वलय और आदर्श की आधुनिक धारणा को परिभाषित किया, आदर्शों के अद्वितीय गुणनखंडन को सिद्ध किया और अमूर्त सिद्धांत की स्थापना की।

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

क्या पूर्णांकों का वलय हमेशा एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन होता है?

नहीं। तत्वों को विशिष्ट रूप से गुणनखंडित करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन वलय हमेशा एक डेडेकाइंड डोमेन होता है, इसलिए आदर्श ऐसा करते हैं; वलय ठीक तभी एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन होता है जब उसकी वर्ग संख्या (class number) एक हो।

विविक्तकर आपको क्या बताता है?

क्षेत्र विविक्तकर एक पूर्णांक अपरिवर्तनीय है जिसके अभाज्य भाजक ठीक वही अभाज्य संख्याएँ हैं जो क्षेत्र में शाखित होती हैं, और इसका आकार यह सीमित करता है कि क्षेत्र कितना जटिल हो सकता है।