अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय

अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय उन शर्तों को बताते हैं जिनके तहत एक साधारण अवकल समीकरण के लिए एक प्रारंभिक मान समस्या का एक हल और केवल एक ही हल होता है।

Definition

एक अस्तित्व प्रमेय यह दावा करता है कि एक प्रारंभिक मान समस्या का हल किसी अंतराल पर मौजूद है; एक अद्वितीयता प्रमेय यह दावा करता है कि, दाहिने हाथ की ओर लिपशिट्ज़ स्थिति जैसी मजबूत परिकल्पनाओं के तहत, कोई भी दो भिन्न हल एक ही प्रारंभिक मान को साझा नहीं कर सकते हैं।

Scope

यह विषय पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय और क्रमिक सन्निकटन तथा संकुचन मैपिंग सिद्धांत द्वारा इसके प्रमाण, केवल निरंतरता के तहत पियानो का अस्तित्व प्रमेय, ग्रोनवॉल की असमानता और प्रारंभिक डेटा पर निरंतर निर्भरता, तथा समाधानों का विस्तार और अस्तित्व के अधिकतम अंतराल को शामिल करता है।

Core questions

• किन परिस्थितियों में एक प्रारंभिक मान समस्या का हल होता है?
• कौन सी अतिरिक्त परिकल्पना यह गारंटी देती है कि हल अद्वितीय है?
• एक हल को कब तक जारी रखा जा सकता है जब तक कि वह अस्तित्व में न रहे?
• हल अपने प्रारंभिक डेटा पर कितनी संवेदनशीलता से निर्भर करता है?

Key theories

पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय

यदि दाहिने हाथ की ओर आश्रित चर में निरंतर और लिपशिट्ज़ है, तो प्रारंभिक मान समस्या का प्रारंभिक बिंदु के पड़ोस में एक अद्वितीय हल होता है, जिसे संकुचन मैपिंग सिद्धांत के माध्यम से पिकार्ड पुनरावृति की सीमा के रूप में प्राप्त किया जाता है।

पियानो अस्तित्व प्रमेय

केवल दाहिने हाथ की ओर की निरंतरता ही कम से कम एक हल के अस्तित्व की गारंटी देती है, लेकिन लिपशिट्ज़ स्थिति के बिना अद्वितीयता विफल हो सकती है, जैसा कि गैर-अद्वितीय समाधानों वाले क्लासिक उदाहरण दिखाते हैं।

ग्रोनवॉल असमानता और निरंतर निर्भरता

ग्रोनवॉल की असमानता एक समाकल असमानता को संतुष्ट करने वाले फलन को सीमित करती है, और यह अद्वितीयता तथा प्रारंभिक स्थितियों और मापदंडों पर समाधानों की निरंतर निर्भरता को उत्पन्न करती है।

Clinical relevance

ये प्रमेय एक मॉडल के समाधान को एक सुपरिभाषित वस्तु के रूप में मानने को उचित ठहराते हैं: वे मॉडलर्स को बताते हैं कि कब एक अवकल समीकरण दिए गए डेटा से एक अद्वितीय प्रक्षेपवक्र निर्धारित करता है, जो भविष्यवाणी, संख्यात्मक सिमुलेशन और गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक सिद्धांत के लिए एक पूर्वापेक्षा है।

History

कॉची ने 1820 के दशक में पहले अस्तित्व प्रमाण दिए, और लिपशिट्ज़ ने उस शर्त को अलग किया जिसे अब उनके नाम से जाना जाता है। पिकार्ड की क्रमिक सन्निकटन विधि और लिंडेलोफ के योगदान ने आज के मानक रचनात्मक प्रमेय को जन्म दिया, जबकि पियानो ने 1886 में दिखाया कि केवल निरंतरता ही अस्तित्व को सुरक्षित करती है, हालांकि अद्वितीयता को नहीं।

Key figures

• Augustin-Louis Cauchy
• Rudolf Lipschitz
• Emile Picard
• Ernst Lindelof
• Giuseppe Peano

Seminal works

• coddington1955
• hartman2002

Frequently asked questions

एक हल मौजूद क्यों हो सकता है लेकिन अद्वितीय नहीं?

अस्तित्व के लिए समीकरण के दाहिने हाथ की ओर की केवल निरंतरता की आवश्यकता होती है, लेकिन अद्वितीयता के लिए यह आवश्यक है कि दाहिने हाथ की ओर बहुत तेजी से न बदले, आमतौर पर एक लिपशिट्ज़ स्थिति। समीकरण y' बराबर y के निरपेक्ष मान के वर्गमूल के, शून्य प्रारंभिक मान के साथ, एक से अधिक हल स्वीकार करने वाला एक मानक उदाहरण है।

पिकार्ड पुनरावृति वास्तव में क्या करती है?

यह प्रारंभिक मान समस्या को एक समाकल समीकरण के रूप में फिर से लिखता है और बार-बार एक अनुमानित हल को समाकल में प्रतिस्थापित करता है। जब दाहिने हाथ की ओर लिपशिट्ज़ होता है, तो यह पुनरावृति एक संकुचन होती है, इसलिए यह अद्वितीय निश्चित बिंदु पर अभिसरित होती है, जो कि वांछित हल है।