Processus de Poisson

Le processus de Poisson est le modèle des points répartis de manière complètement aléatoire dans le temps ou l'espace, dans lequel les dénombrements sur des régions disjointes sont indépendants et distribués selon une loi de Poisson, ce qui en fait la description canonique des arrivées aléatoires.

Definition

Un processus de Poisson est un processus de comptage dont les nombres d'événements dans des régions disjointes sont indépendants et distribués selon une loi de Poisson avec une moyenne proportionnelle à la taille de la région, ou, de manière équivalente, un processus de points avec des accroissements indépendants et stationnaires.

Scope

Ce sujet couvre le processus de Poisson homogène sur la ligne défini par des temps inter-arrivées exponentiels indépendants, sa caractérisation équivalente par des accroissements indépendants distribués selon une loi de Poisson, les processus ponctuels de Poisson inhomogènes et spatiaux, les opérations de superposition et d'éclaircissage, la propriété des statistiques d'ordre des temps d'arrivée conditionnés, et le processus de Poisson en tant que processus de comptage de Markov en temps continu le plus simple.

Core questions

• Quelles propriétés d'indépendance et de distribution caractérisent les points complètement aléatoires ?
• Pourquoi les temps d'attente entre les événements de Poisson sont-ils distribués exponentiellement et sans mémoire ?
• Comment la superposition et l'éclaircissage combinent-ils et divisent-ils les processus de Poisson ?
• Comment les temps d'arrivée sont-ils distribués une fois que le nombre d'arrivées est connu ?

Key concepts

• accroissements indépendants
• temps inter-arrivées exponentiels
• superposition et éclaircissage
• intensité inhomogène
• processus ponctuel spatial

Key theories

Propriétés définissantes du processus de Poisson

Des dénombrements indépendants distribués selon une loi de Poisson sur des ensembles disjoints, des temps inter-arrivées exponentiels sans mémoire, et la limite de nombreux événements rares indépendants décrivent tous le même processus, trois caractérisations équivalentes qui expliquent son universalité.

Superposition, éclaircissage et propriété des statistiques d'ordre

La fusion de processus de Poisson indépendants additionne leurs taux, le fait de conserver indépendamment chaque point avec une probabilité fixe donne un processus de Poisson éclairci, et conditionnés par le nombre, les temps d'arrivée sont distribués comme des échantillons uniformes ordonnés, une boîte à outils pour manipuler les points de Poisson.

Clinical relevance

Le processus de Poisson est le modèle standard pour les flux d'arrivées dans les files d'attente et les télécommunications, pour la chronologie des désintégrations radioactives et des détections de photons, pour les arrivées de sinistres d'assurance, et comme modèle de processus ponctuel spatial pour les emplacements d'étoiles, d'arbres ou d'événements cellulaires, où ses règles d'éclaircissage et de superposition rendent l'analyse traitable.

History

Poisson a dérivé la loi limite des événements rares en 1837. Erlang a appliqué les arrivées de Poisson au trafic téléphonique au début du XXe siècle, fondant ainsi la théorie des files d'attente, et Kingman a fourni le traitement moderne basé sur la théorie de la mesure des processus ponctuels de Poisson sur des espaces généraux.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Pourquoi les temps entre les événements de Poisson sont-ils exponentiels ?

Parce que le processus n'a pas de mémoire : la probabilité d'un événement dans l'instant suivant ne dépend pas du temps déjà écoulé, et la distribution exponentielle est la seule distribution continue possédant cette propriété d'absence de mémoire.

Que fait l'éclaircissage d'un processus de Poisson ?

Si chaque point d'un processus de Poisson est conservé indépendamment avec une certaine probabilité fixe, les points retenus forment à nouveau un processus de Poisson dont le taux est mis à l'échelle par cette probabilité, et les points conservés et écartés sont indépendants.