Processus de Poisson homogène

Le processus de Poisson homogène dénombre les événements survenant à un taux moyen constant, le nombre d'événements dans tout intervalle étant distribué selon une loi de Poisson et les dénombrements dans des intervalles disjoints étant indépendants.

Definition

Un processus de Poisson homogène de taux lambda est un processus de comptage commençant à zéro avec des accroissements indépendants et stationnaires dans lequel le nombre d'événements dans un intervalle de longueur t est distribué selon une loi de Poisson de moyenne lambda fois t, ou de manière équivalente, un processus dont les temps inter-arrivées sont des variables aléatoires exponentielles indépendantes de taux lambda.

Scope

Ce sujet couvre le paramètre de taux, la distribution de Poisson des dénombrements, les accroissements indépendants et stationnaires, la distribution exponentielle des temps inter-arrivées et la distribution gamma des temps d'arrivée, la propriété des statistiques d'ordre des temps d'événement conditionnés par le dénombrement, et la propriété d'absence de mémoire sous-jacente à ces résultats.

Core questions

• Comment le processus de Poisson homogène est-il défini et paramétré par son taux ?
• Pourquoi les temps inter-arrivées sont-ils exponentiels et indépendants ?
• Comment les temps d'arrivée sont-ils distribués étant donné le nombre d'événements ?
• Quel est le rôle de la propriété d'absence de mémoire ?

Key theories

Équivalence des descriptions par dénombrement et par temps inter-arrivées

Un processus de comptage présente des accroissements de Poisson avec des accroissements stationnaires indépendants si et seulement si ses temps inter-arrivées successifs sont des exponentielles indépendantes avec le même taux, de sorte que le processus peut être construit soit par dénombrement, soit par sommation des temps d'attente.

Propriété des statistiques d'ordre

Conditionnés par le nombre d'événements dans un intervalle, les temps d'événement sont distribués comme les statistiques d'ordre de points uniformes indépendants dans cet intervalle, ce qui simplifie de nombreux calculs et simulations conditionnels.

Clinical relevance

Le processus de Poisson homogène est le modèle standard pour les arrivées dans les files d'attente, les dénombrements de désintégration radioactive, la détection de photons et les occurrences d'événements rares. Il sert de mécanisme d'arrivée dans les files d'attente élémentaires M/M/1 et M/G/1 et de modèle nul d'aléatoire dans les données de temps d'événement.

History

L'analyse des événements rares par Bortkiewicz en 1898 et l'étude du trafic téléphonique par Erlang en 1909 ont établi empiriquement le processus de Poisson, tandis que les dénombrements de particules alpha par Rutherford et Geiger en 1910 ont fourni une confirmation physique classique ; la théorie rigoureuse a découlé de l'étude générale des processus à accroissements indépendants.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• Ernest Rutherford

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Pourquoi les temps inter-arrivées de Poisson sont-ils exponentiels ?

L'indépendance et la stationnarité des accroissements forcent le temps d'attente jusqu'au prochain événement à être sans mémoire, et la seule distribution continue sans mémoire est l'exponentielle, avec un taux égal au taux du processus.

Que signifie le paramètre de taux ?

Le taux lambda est le nombre moyen d'événements par unité de temps ; le dénombrement attendu dans un intervalle est lambda fois sa longueur, et le temps inter-arrivée moyen est l'inverse de lambda.