Processus de Poisson non homogènes et composés

Généralisant le processus de Poisson, une version non homogène permet au taux d'événements de varier dans le temps ou l'espace, tandis qu'une version composée attribue des tailles aléatoires indépendantes à chaque événement.

Definition

Un processus de Poisson non homogène est un processus de comptage à accroissements indépendants dont le nombre d'événements dans une région suit une distribution de Poisson avec une moyenne donnée par l'intégrale d'une intensité non constante, et un processus de Poisson composé est la somme de sauts aléatoires indépendants et identiquement distribués survenant aux événements d'un processus de Poisson.

Scope

Ce sujet aborde le processus de Poisson non homogène défini par une fonction d'intensité variable et une mesure moyenne cumulative, le changement de temps qui le transforme en un processus de Poisson standard, le processus de Poisson composé formé en sommant des marques indépendantes aux temps d'événements de Poisson, sa moyenne, sa variance et sa fonction caractéristique, ainsi que ses applications au risque d'assurance et au bruit de grenaille (shot noise).

Core questions

• Comment une fonction d'intensité variable généralise-t-elle le processus à taux constant ?
• Comment un processus non homogène peut-il être transformé en un processus homogène par un changement de temps ?
• Comment la moyenne et la variance d'une somme de Poisson composée sont-elles calculées ?
• Comment ces processus modélisent-ils les sinistres d'assurance et le bruit de grenaille ?

Key theories

Changement de temps vers un processus de Poisson standard

La mise à l'échelle du temps par la fonction d'intensité cumulative transforme un processus de Poisson non homogène en un processus de Poisson standard de taux unitaire, ce qui caractérise le processus non homogène et fournit une méthode de simulation par inversion ou par échantillonnage (thinning).

Distribution de Poisson composée

La somme d'un nombre de sauts indépendants distribués selon une loi de Poisson a une moyenne et une variance exprimables à travers la distribution des sauts, et sa fonction caractéristique est l'exponentielle du taux multiplié par la fonction caractéristique des sauts moins un, la reliant aux lois infiniment divisibles.

Clinical relevance

Les processus de Poisson non homogènes modélisent des taux d'arrivée variant dans le temps, tels que le trafic quotidien ou l'incidence saisonnière des maladies, tandis que les processus de Poisson composés constituent le modèle classique des sinistres d'assurance agrégés dans la théorie du risque de Cramer-Lundberg et du bruit de grenaille en physique et en traitement du signal.

History

Lundberg a introduit le modèle de risque de Poisson composé en 1903 et Cramer a développé sa théorie de la ruine dans les années 1930, tandis que les processus de Poisson non homogènes et leur simulation basée sur l'échantillonnage (thinning), formalisée par Lewis et Shedler en 1979, sont devenus des outils standards pour modéliser les taux d'événements variant dans le temps.

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Quelle est la différence entre les processus de Poisson non homogènes et composés ?

Un processus non homogène conserve des sauts unitaires mais permet au taux d'événements de varier dans le temps ou l'espace, tandis qu'un processus composé conserve un nombre d'événements de Poisson mais attribue à chacun une taille aléatoire.

Comment un processus de Poisson composé est-il utilisé en assurance ?

Il modélise le total des sinistres comme un nombre de Poisson de montants de sinistres indépendants ; l'agrégat résultant est la base de la théorie classique de la ruine, qui étudie la probabilité que les sinistres accumulés dépassent les réserves.