Quantités pivotales et intervalles de confiance

Une quantité pivotale possède une distribution qui ne dépend pas du paramètre inconnu, ce qui permet de transformer un énoncé de probabilité en un intervalle de confiance.

Definition

Une quantité pivotale est une fonction des données et du paramètre dont la distribution de probabilité est identique pour chaque valeur du paramètre ; l'inversion d'un énoncé de probabilité concernant le pivot produit un intervalle de confiance pour le paramètre.

Scope

Ce sujet aborde la définition d'une quantité pivotale, la méthode pivotale pour construire des intervalles de confiance exacts, les pivots canoniques dans les modèles de localisation-échelle et normaux tels que les pivots t et du chi-deux, le choix des bornes d'intervalle pour contrôler la longueur et la symétrie, et les pivots approximatifs pour grands échantillons qui donnent des intervalles de type Wald à partir de la normalité asymptotique.

Core questions

• Qu'est-ce qui distingue un pivot d'une statistique ordinaire, et pourquoi une distribution indépendante du paramètre est-elle essentielle ?
• Comment la méthode pivotale convertit-elle un énoncé de probabilité en un intervalle ?
• Quels sont les pivots standards pour la moyenne et la variance d'un échantillon normal ?
• Comment les pivots asymptotiques basés sur la normalité fournissent-ils des intervalles approximatifs lorsque les pivots exacts ne sont pas disponibles ?

Key theories

Méthode pivotale

Si un pivot possède une distribution connue, le choix de quantiles qui englobent une probabilité donnée et la résolution des inégalités résultantes pour le paramètre produisent un intervalle de confiance avec une couverture exactement égale à cette probabilité.

Pivots asymptotiques et intervalles de Wald

Lorsqu'aucun pivot exact n'existe, un estimateur moins le paramètre divisé par son erreur standard est approximativement normal standard pour de grands échantillons, ce qui donne l'intervalle de confiance familier « estimation plus ou moins marge d'erreur ».

Clinical relevance

La méthode pivotale produit l'intervalle t pour une moyenne et l'intervalle du chi-deux pour une variance, qui sont couramment rapportés dans la recherche appliquée, tandis que les pivots asymptotiques fournissent les intervalles « estimation plus ou moins marge d'erreur » utilisés pour les proportions, les coefficients de régression et les estimations d'enquêtes.

History

La dérivation par Gosset en 1908 de la distribution t sous le pseudonyme de Student a fourni le premier pivot exact pour la moyenne normale, et la théorie de la confiance de Neyman en 1937 a placé la construction pivotale dans un cadre fréquentiste général.

Key figures

• Jerzy Neyman
• William Sealy Gosset
• Ronald A. Fisher
• George Casella

Seminal works

• casella2002

Frequently asked questions

Qu'est-ce qui rend une quantité pivotale ?

Sa distribution doit être exactement la même pour chaque valeur du paramètre inconnu ; ce n'est qu'alors que les quantiles peuvent être choisis sans connaître le paramètre, ce qui permet d'obtenir un intervalle avec une couverture garantie.

Les intervalles de Wald sont-ils exacts ?

Non. Ils reposent sur la normalité asymptotique de l'estimateur et n'ont donc qu'une couverture approximative pour des échantillons finis, ce qui peut être insuffisant pour de petits échantillons ou des paramètres proches d'une borne, comme une proportion proche de zéro ou de un.