Espérance conditionnelle

L'espérance conditionnelle est la meilleure prédiction d'une variable aléatoire étant donnée l'information contenue dans une sous-tribu, définie abstraitement par le théorème de Radon-Nikodym et se comportant comme une projection de moyenne qui respecte l'information disponible.

Definition

L'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire intégrable étant donnée une sous-tribu est la fonction intégrable unique, à une égalité presque sûre près, qui est mesurable par rapport à cette sous-tribu et dont l'intégrale est la même que celle de la variable originale sur tout ensemble de celle-ci.

Scope

Le sujet couvre la définition de l'espérance conditionnelle étant donnée une sous-tribu, son existence et son unicité presque sûre via le théorème de Radon-Nikodym, les propriétés de tour (tower property), de sortie des connus (taking-out-what-is-known property) et de Jensen conditionnelle (conditional-Jensen property), l'interprétation comme une projection orthogonale dans l'espace des variables de carré intégrable, la probabilité conditionnelle et les distributions conditionnelles régulières, ainsi que le rôle du conditionnement comme moteur des martingales et de la mise à jour bayésienne.

Core questions

• Comment l'espérance peut-elle être conditionnée par des informations pouvant inclure des événements de probabilité nulle ?
• Pourquoi l'espérance conditionnelle est-elle unique seulement à un ensemble presque sûrement nul près ?
• En quel sens l'espérance conditionnelle est-elle le meilleur prédicteur d'une variable aléatoire ?
• Comment les propriétés de tour et de sortie des connus rendent-elles l'espérance conditionnelle traitable ?

Key concepts

• tribu de conditionnement
• dérivée de Radon-Nikodym
• propriété de tour
• projection aux moindres carrés
• distribution conditionnelle régulière

Key theories

Existence par Radon-Nikodym

L'espérance conditionnelle existe parce que la mesure obtenue en intégrant la variable aléatoire sur les ensembles de la sous-tribu est absolument continue par rapport à la mesure de probabilité restreinte, et sa dérivée de Radon-Nikodym est l'espérance conditionnelle.

Propriété de tour

Conditionner sur une tribu plus grossière après avoir conditionné sur une plus fine donne l'espérance conditionnelle plus grossière, de sorte que le conditionnement itéré se réduit au niveau le plus grossier ; cette identité de lissage est fondamentale pour la théorie des martingales et le filtrage.

Caractérisation par projection

Pour les variables de carré intégrable, l'espérance conditionnelle est la projection orthogonale sur le sous-espace des variables mesurables par rapport à la tribu de conditionnement, ce qui en fait le prédicteur optimal au sens des moindres carrés étant donné l'information disponible.

Clinical relevance

L'espérance conditionnelle est la base formelle de la prédiction et de la mise à jour en situation d'incertitude : elle définit les martingales, sous-tend le filtre de Kalman et le filtrage non linéaire, exprime les moyennes a posteriori bayésiennes, et fournit le prix sans arbitrage d'un actif contingent comme une espérance conditionnelle sous une mesure neutre au risque.

History

Kolmogorov a introduit la définition générale de l'espérance conditionnelle par rapport à une tribu en 1933, résolvant les paradoxes du conditionnement sur des événements de mesure nulle en l'ancrant dans le théorème de Radon-Nikodym ; Doob en a ensuite fait le fondement de la théorie des martingales.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Joseph L. Doob
• Johann Radon
• Otton Nikodym

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

Pourquoi l'espérance conditionnelle est-elle une variable aléatoire plutôt qu'un nombre ?

Parce qu'elle doit encoder la valeur prédite pour chaque état possible de l'information de conditionnement ; à mesure que cette information varie sur l'espace des échantillons, la valeur prédite varie, faisant de l'espérance conditionnelle une fonction mesurable par rapport à la tribu de conditionnement.

Comment le conditionnement sur une tribu généralise-t-il le conditionnement sur un événement ?

Le conditionnement sur un événement de probabilité positive est le cas particulier où la sous-tribu est générée par cet événement et son complément ; la définition générale étend cela à des informations qui ne peuvent être capturées par un seul événement de probabilité positive.