زمانهای توقف و توقف اختیاری
زمان توقف، یک زمان تصادفی است که وقوع آن از اطلاعات موجود تا آن لحظه قابل تشخیص است، و قضیه توقف اختیاری بیان میکند که یک بازی منصفانه که در چنین زمانی متوقف میشود، منصفانه باقی میماند؛ اصلی با دامنه نفوذ شگفتانگیز.
Definition
زمان توقف، یک زمان تصادفی است که تصمیم برای توقف تنها به اطلاعات موجود تا آن زمان بستگی دارد، و قضیه توقف اختیاری بیان میکند که تحت شرایط مناسب، امید ریاضی یک مارتینگل که در زمان توقف ارزیابی میشود، برابر با امید ریاضی اولیه آن است.
Scope
این موضوع شامل تعریف زمان توقف نسبت به یک فیلتراسیون و سیگما-جبر رویدادهای شناخته شده توسط زمان توقف، فرآیند متوقف شده، قضایای توقف اختیاری و نمونهبرداری اختیاری با شرایط انتگرالپذیری و کرانداری مورد نیاز آنها، هویتهای والد برای مجموعهای متوقف شده در یک زمان تصادفی، و کاربردها در ورشکستگی قمارباز، احتمالات برخورد، و زمانهای مورد انتظار برخورد میشود.
Core questions
- چه چیزی یک زمان تصادفی را به زمان توقف تبدیل میکند و چرا این تمایز اهمیت دارد؟
- تحت چه شرایطی توقف یک مارتینگل، امید ریاضی آن را حفظ میکند؟
- چرا قضیه توقف اختیاری بدون فرضیات انتگرالپذیری یا کرانداری میتواند شکست بخورد؟
- چگونه زمانهای توقف، احتمالات برخورد و مدت زمانهای مورد انتظار را به دست میدهند؟
Key concepts
- زمان توقف
- فرآیند متوقف شده
- نمونهبرداری اختیاری
- هویتهای والد
- ورشکستگی قمارباز
Key theories
- قضیه توقف اختیاری
- اگر یک زمان توقف کراندار باشد، یا مارتینگل متوقف شده به طور یکنواخت انتگرالپذیر باشد، یا زمان دارای میانگین متناهی با افزایشهای کراندار باشد، آنگاه امید ریاضی مارتینگل در زمان توقف برابر با مقدار اولیه آن است، که معنای دقیق آن این است که یک بازی منصفانه را نمیتوان با قوانین ترک هوشمندانه مورد سوءاستفاده قرار داد.
- هویتهای والد
- برای مجموعی از متغیرهای مستقل با توزیع یکسان که در یک زمان توقف با میانگین متناهی متوقف شدهاند، مجموع مورد انتظار برابر است با میانگین ضربدر زمان توقف مورد انتظار، و یک هویت متناظر برای واریانس برقرار است، نتایجی که با توقف اختیاری مارتینگل به دست آمدهاند.
Clinical relevance
توقف اختیاری موتور تحلیلی برای محاسبه احتمالات ورشکستگی و زمانهای بازی مورد انتظار در قمار و بیمه، برای احتمالات خطا و اندازههای نمونه مورد انتظار آزمون نسبت احتمال ترتیبی والد، و برای محاسبات اولین گذر در صفبندی، قابلیت اطمینان، و قیمتگذاری گزینههای مالی به سبک آمریکایی است.
History
دوب قضایای نمونهبرداری اختیاری را برای مارتینگلها فرموله کرد، و والد، که در دهه ۱۹۴۰ روی تحلیل ترتیبی کار میکرد، هویتهایی را برای مجموعهای متوقف شده تصادفی استخراج کرد که چارچوب مارتینگل بعدها آنها را یکپارچه و توضیح داد.
Key figures
- Joseph L. Doob
- Abraham Wald
- David Williams
Related topics
Seminal works
- williams1991
Frequently asked questions
- چرا زمان توقف باید از اطلاعات گذشته قابل تشخیص باشد؟
- اگر کسی میتوانست بر اساس آینده توقف کند، میتوانست یک بازی منصفانه را دقیقاً در لحظات مطلوب ترک کند و به طور سیستماتیک برنده شود؛ الزامی که تصمیم توقف فقط از اطلاعات تا زمان حال استفاده کند، دقیقاً همان چیزی است که توقف اختیاری را صادقانه نگه میدارد.
- چه زمانی قضیه توقف اختیاری شکست میخورد؟
- این قضیه میتواند زمانی شکست بخورد که زمان توقف نامحدود باشد و مارتینگل به طور یکنواخت انتگرالپذیر نباشد، مانند یک گام تصادفی ساده نامحدود که در آن توقف در اولین بازدید از یک سطح مثبت، امید ریاضی متفاوتی نسبت به شروع میدهد.