قضیه توقف اختیاری
قضیه توقف اختیاری بیان میکند که تحت شرایطی که انتظار نامحدود را حذف میکند، توقف یک بازی منصفانه در یک زمان تصادفی هوشمندانه انتخاب شده نمیتواند مقدار مورد انتظار آن را تغییر دهد.
Definition
قضیه توقف اختیاری بیان میکند که برای یک مارتینگل و یک زمان توقف که شرایط انتگرالپذیری یا کرانداری مناسب را برآورده میکند، مقدار مورد انتظار مارتینگل در زمان توقف برابر با مقدار مورد انتظار اولیه آن است، بنابراین یک مارتینگل متوقف شده همچنان یک مارتینگل است.
Scope
این موضوع شامل زمانهای توقف و فرآیند متوقف شده، بیان قضیه توقف اختیاری و فرضیههای آن مانند زمانهای توقف کراندار، مارتینگلهای کراندار، یا انتگرالپذیری یکنواخت، مثالهای نقض مانند استراتژی دو برابر کردن که نشان میدهد چرا فرضیهها لازم هستند، و کاربردها در ورشکستگی قمارباز، احتمالات برخورد گامهای تصادفی، و هویتهای والد میشود.
Core questions
- زمان توقف چیست و متوقف کردن یک فرآیند در آن به چه معناست؟
- تحت چه شرایطی توقف اختیاری امید ریاضی را حفظ میکند؟
- چرا برخی از استراتژیهای توقف به نظر میرسد که یک بازی منصفانه را شکست میدهند و کدام فرضیه نقض میشود؟
- چگونه این قضیه احتمالات برخورد و زمانهای مورد انتظار برخورد را به دست میدهد؟
Key theories
- توقف اختیاری تحت شرایط کافی
- اگر زمان توقف کراندار باشد، یا مارتینگل کراندار باشد، یا خانواده مقادیر متوقف شده به طور یکنواخت انتگرالپذیر باشد، آنگاه امید ریاضی مارتینگل در زمان توقف برابر با مقدار شروع آن است و ویژگی بازی منصفانه را حفظ میکند.
- هویتهای والد و مسائل ورشکستگی
- اعمال توقف اختیاری بر مارتینگل گام تصادفی، هویتهای اول و دوم والد را به دست میدهد که مجموع متوقف شده را به زمان توقف مرتبط میکند و احتمالات صریح ورشکستگی قمارباز و مدت زمانهای مورد انتظار را ارائه میدهد.
Clinical relevance
توقف اختیاری دلیل دقیق این است که هیچ سیستم شرطبندی نمیتواند یک بازی منصفانه را شکست دهد، اشتقاقهای واضحی از احتمالات ورشکستگی و برخورد برای گامهای تصادفی ارائه میدهد، و در آمار ترتیبی، خطای آزمونهایی را کنترل میکند که به صورت تطبیقی با رسیدن دادهها متوقف میشوند.
History
دوب در دهههای 1940 و 1950 نمونهبرداری اختیاری را فرموله کرد و هویتهای تحلیل ترتیبی والد در دهه 1940 را تعمیم داد، و این قضیه با فرضیههای دقیق خود، که با شکست استراتژی دو برابر کردن نشان داده شد، به سنگ بنای نظریه مارتینگل کاربردی و مالی ریاضی تبدیل شد.
Key figures
- Joseph Doob
- Abraham Wald
- David Williams
Related topics
Seminal works
- doob1953
Frequently asked questions
- آیا یک قانون توقف هوشمندانه میتواند یک بازی منصفانه را شکست دهد؟
- خیر، مشروط بر اینکه شرایط قضیه توقف اختیاری برقرار باشد؛ استراتژیهایی که به نظر میرسد برنده میشوند، مانند دو برابر کردن شرطها، به سرمایه نامحدود یا زمان مورد انتظار بینهایت نیاز دارند که فرضیههای قضیه را نقض میکند.
- زمان توقف چیست؟
- زمان توقف یک زمان تصادفی است که وقوع آن را میتوان تنها با استفاده از اطلاعات موجود تا آن لحظه، بدون نگاه به آینده، مانند اولین باری که یک فرآیند به یک سطح معین میرسد، تعیین کرد.