فرایندهای پواسون ناهمگن و مرکب
نسخه ناهمگن فرایند پواسون، با تعمیم آن، امکان میدهد که نرخ رویداد در زمان یا مکان تغییر کند، در حالی که نسخه مرکب، اندازههای تصادفی مستقل را به هر رویداد اختصاص میدهد.
Definition
فرایند پواسون ناهمگن یک فرایند شمارش با افزایشهای مستقل است که شمارش آن در یک منطقه دارای توزیع پواسون با میانگینی است که از انتگرال یک شدت غیرثابت به دست میآید، و فرایند پواسون مرکب مجموع پرشهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان است که در رویدادهای یک فرایند پواسون رخ میدهند.
Scope
این موضوع شامل فرایند پواسون ناهمگن است که با تابع شدت متغیر و معیار میانگین تجمعی تعریف میشود، تغییر زمانی که آن را به یک فرایند پواسون استاندارد نگاشت میکند، فرایند پواسون مرکب که با جمع کردن نشانههای مستقل در زمانهای رویداد پواسون تشکیل میشود، میانگین، واریانس و تابع مشخصه آن، و کاربردهای آن در ریسک بیمه و نویز شات.
Core questions
- چگونه یک تابع شدت متغیر، فرایند با نرخ ثابت را تعمیم میدهد؟
- چگونه میتوان یک فرایند ناهمگن را با تغییر زمان به یک فرایند همگن تبدیل کرد؟
- میانگین و واریانس یک مجموع پواسون مرکب چگونه محاسبه میشود؟
- این فرایندها چگونه مطالبات بیمه و نویز شات را مدلسازی میکنند؟
Key theories
- تغییر زمان به پواسون استاندارد
- تغییر مقیاس زمان با تابع شدت تجمعی، یک فرایند پواسون ناهمگن را به یک فرایند پواسون استاندارد با نرخ یک تبدیل میکند، که هم فرایند ناهمگن را مشخص میکند و هم یک روش شبیهسازی با وارونگی یا نازکسازی (thinning) ارائه میدهد.
- توزیع پواسون مرکب
- مجموع تعداد پرشهای مستقل با توزیع پواسون دارای میانگین و واریانسی است که از طریق توزیع پرش قابل بیان است، و تابع مشخصه آن نمایی از نرخ ضربدر تابع مشخصه پرش منهای یک است که آن را به قوانین بینهایت تقسیمپذیر مرتبط میکند.
Clinical relevance
فرایندهای پواسون ناهمگن نرخهای ورود متغیر با زمان مانند ترافیک روزانه یا شیوع فصلی بیماری را مدلسازی میکنند، در حالی که فرایندهای پواسون مرکب مدل کلاسیک مطالبات بیمه تجمیعی در نظریه ریسک کرامر-لوندبرگ و نویز شات در فیزیک و پردازش سیگنال هستند.
History
لوندبرگ مدل ریسک پواسون مرکب را در سال 1903 معرفی کرد و کرامر نظریه ورشکستگی آن را در دهه 1930 توسعه داد، در حالی که فرایندهای پواسون ناهمگن و شبیهسازی مبتنی بر نازکسازی (thinning) آنها، که توسط لوئیس و شدلر در سال 1979 رسمی شد، به ابزارهای استانداردی برای مدلسازی نرخهای رویداد متغیر با زمان تبدیل شدند.
Key figures
- Filip Lundberg
- Harald Cramer
- John Kingman
Related topics
Seminal works
- kingman1993
Frequently asked questions
- تفاوت بین فرایندهای پواسون ناهمگن و مرکب چیست؟
- یک فرایند ناهمگن پرشهای واحد را حفظ میکند اما اجازه میدهد نرخ رویداد در زمان یا مکان تغییر کند، در حالی که یک فرایند مرکب تعداد پواسون رویدادها را حفظ میکند اما به هر یک اندازه تصادفی میدهد.
- فرایند پواسون مرکب چگونه در بیمه استفاده میشود؟
- این فرایند کل مطالبات را به عنوان تعداد پواسون از مبالغ مطالبات مستقل مدلسازی میکند؛ مجموع حاصل اساس نظریه کلاسیک ورشکستگی است که احتمال تجاوز مطالبات انباشته از ذخایر را بررسی میکند.