زنجیرههای مارکوف زمان پیوسته
یک زنجیره مارکوف زمان پیوسته، هر حالت را برای یک زمان نمایی نگه میدارد و سپس به حالت دیگری میپرد؛ دینامیک آن توسط یک ماتریس مولد از نرخهای انتقال، به جای یک ماتریس انتقال تکمرحلهای، کنترل میشود.
Definition
یک زنجیره مارکوف زمان پیوسته، یک فرآیند مارکوف بر روی یک فضای حالت شمارشپذیر است که در هر حالت برای یک زمان با توزیع نمایی باقی میماند و سپس طبق احتمالات ثابت پرش میکند، با نرخهای نگهداری و احتمالات پرش که در یک ماتریس مولد خلاصه میشوند.
Scope
این مبحث شامل ساختار پرش و نگهداری با زمانهای نگهداری نمایی و یک زنجیره پرش تعبیهشده، ماتریس مولد یا ماتریس Q نرخهای انتقال، معادلات دیفرانسیل پیشرو و پسرو کولموگروف برای احتمالات انتقال، راهحل ماتریس-نمایی، انفجار و نظم، فرآیندهای تولد و مرگ، و رفتار بلندمدت کنترلشده توسط توزیعهای ایستا میشود.
Core questions
- چگونه یک زنجیره زمان پیوسته از زمانهای نگهداری نمایی و احتمالات پرش ساخته میشود؟
- ماتریس مولد چیست و چگونه احتمالات انتقال را تعیین میکند؟
- معادلات پیشرو و پسرو کولموگروف چگونه تکامل در زمان را توصیف میکنند؟
- چه زمانی زنجیره میتواند بینهایت پرش در زمان محدود انجام دهد و چگونه این امر مستثنی میشود؟
Key concepts
- ماتریس مولد
- زمانهای نگهداری نمایی
- زنجیره پرش تعبیهشده
- معادلات پیشرو و پسرو کولموگروف
- فرآیند تولد و مرگ
Key theories
- مولد و معادلات کولموگروف
- ورودیهای غیرقطری مولد، نرخهای پرش را نشان میدهند و قطر، نرخهای خروج کلی را؛ ماتریس احتمال انتقال، معادلات دیفرانسیل پیشرو و پسرو را که توسط مولد هدایت میشوند، حل میکند، با ماتریس نمایی مولد به عنوان راهحل رسمی آن.
- ساختار زنجیره پرش و زمان نگهداری
- یک زنجیره زمان پیوسته میتواند توسط یک زنجیره پرش زمان گسسته تعبیهشده همراه با زمانهای نگهداری نمایی وابسته به حالت تحقق یابد، که مسیر فرآیند را از مدت زمان انتظار آن جدا میکند و شبیهسازی و تحلیل را ساده میسازد.
Clinical relevance
زنجیرههای مارکوف زمان پیوسته، شبکههای صف و مخابرات، کینتیک کانالهای یونی و شبکههای واکنش شیمیایی، مدلهای جمعیتی و اپیدمی در زمان پیوسته، و مدلهای مهاجرت رتبهبندی ریسک اعتباری را مدلسازی میکنند؛ فرمولبندی مولد آنها مستقیماً به معادلات دیفرانسیل مورد استفاده برای محاسبه رفتار گذرا و تعادلی مرتبط است.
History
کولموگروف در سال ۱۹۳۱ معادلات دیفرانسیل پیشرو و پسرو را برای احتمالات انتقال زمان پیوسته استخراج کرد، و فلر راهحلها، انفجار و رفتار مرزی آنها را تحلیل کرد و نظریه مبتنی بر مولد را که زیربنای رویکردهای مدرن به فرآیندهای مارکوف پرشی است، بنا نهاد.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- William Feller
- Agner Krarup Erlang
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- یک زنجیره مارکوف زمان پیوسته چه تفاوتی با یک زنجیره زمان گسسته دارد؟
- یک زنجیره زمان گسسته در گامهای صحیح ثابت حرکت میکند، در حالی که یک زنجیره زمان پیوسته در هر حالت برای یک زمان نمایی تصادفی قبل از پرش باقی میماند، بنابراین دینامیک آن توسط نرخهای انتقال در یک مولد توصیف میشود تا احتمالات انتقال تکمرحلهای.
- انفجار در این زمینه چیست؟
- انفجار، امکان انجام بینهایت پرش توسط زنجیره در یک بازه زمانی محدود است، که میتواند زمانی رخ دهد که نرخهای نگهداری بدون محدودیت افزایش یابند؛ یک زنجیره زمانی منظم یا غیرانفجاری نامیده میشود که احتمال این رخداد صفر باشد.