Distribución de Wishart

La distribución de Wishart es la generalización multivariante de la distribución chi-cuadrado, que describe el comportamiento de muestreo de las matrices de covarianza a partir de datos normales multivariantes.

Definition

La distribución de Wishart es la distribución de probabilidad de la matriz de sumas de cuadrados y productos cruzados formada a partir de una muestra de vectores normales multivariantes independientes con media cero, parametrizada por una matriz de escala y grados de libertad.

Scope

Este tema abarca la definición de la distribución de Wishart como la distribución de una suma de productos externos de vectores normales independientes, sus grados de libertad y matriz de escala, su papel como distribución de muestreo de la matriz de covarianza muestral, la distribución inversa de Wishart como una previa conjugada para la covarianza, y su uso en la derivación de estadísticas de prueba multivariantes.

Core questions

• ¿Cuál es la distribución de muestreo de una matriz de covarianza muestral?
• ¿Cómo parametrizan la matriz de escala y los grados de libertad la distribución de Wishart?
• ¿Cómo generaliza la distribución de Wishart la distribución chi-cuadrado?
• ¿Dónde surge la distribución inversa de Wishart?

Key theories

Distribución de muestreo de la covarianza

Para una muestra de una población normal multivariante, la matriz de sumas de cuadrados y productos cruzados sigue una distribución de Wishart, generalizando el resultado de que la varianza muestral escalada de datos normales es chi-cuadrado.

Conjugación de la inversa de Wishart

La distribución inversa de Wishart es la previa conjugada para la matriz de covarianza de una verosimilitud normal multivariante, lo que la hace central para el análisis multivariante bayesiano.

Clinical relevance

La distribución de Wishart subyace a las distribuciones nulas de las estadísticas de prueba multivariantes clásicas y proporciona la previa conjugada utilizada en la estimación bayesiana de matrices de covarianza.

History

John Wishart derivó la distribución de la matriz de covarianza muestral a partir de datos normales multivariantes en 1928, proporcionando la teoría de muestreo necesaria para la inferencia multivariante y dando nombre a la distribución.

Key figures

• John Wishart
• T. W. Anderson

Seminal works

• anderson2003
• muirhead1982
• mardia1979

Frequently asked questions

¿Cómo se relaciona la distribución de Wishart con la distribución chi-cuadrado?

En una dimensión, la distribución de Wishart se reduce a una distribución chi-cuadrado escalada; la distribución de Wishart extiende esto a la distribución conjunta de varianzas y covarianzas en varias dimensiones.

¿Para qué se utiliza la inversa de Wishart?

Sirve como previa conjugada para una matriz de covarianza en modelos multivariantes bayesianos, lo que permite actualizaciones posteriores tratables para la covarianza.