Soluciones de Schrödinger Independientes del Tiempo

Encontrar los niveles de energía y las funciones de onda estacionarias de una partícula cuántica en un potencial es la primera tarea de la mecánica cuántica computacional, resuelta ya sea disparando a lo largo de la función de onda o diagonalizando un hamiltoniano discretizado.

Definition

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es una ecuación de valores propios cuyas soluciones son los estados estacionarios y los niveles de energía de un sistema cuántico; resolverla numéricamente significa encontrar esos valores y funciones propias para un potencial dado.

Scope

Este tema cubre la solución numérica de la ecuación de Schrödinger estacionaria en una y pocas dimensiones: el método de disparo y emparejamiento con búsqueda de valores propios, el método de integración de Numerov y los métodos matriciales que discretizan el hamiltoniano en una cuadrícula o en una base. Trata los estados ligados y, brevemente, los estados de dispersión.

Core questions

• ¿Cómo encuentra el método de disparo los valores propios de energía al imponer condiciones de contorno?
• ¿Por qué el método de Numerov es adecuado para integrar la ecuación de Schrödinger?
• ¿Cómo convierte la discretización del hamiltoniano el problema en una diagonalización matricial?
• ¿Cómo se distinguen los estados ligados discretos del continuo?

Key theories

Disparo y emparejamiento

La función de onda se integra desde los límites hacia adentro para una energía de prueba, y la energía se ajusta hasta que las soluciones internas y externas coinciden suavemente, lo que selecciona los valores propios permitidos.

Integración de Numerov

El método de Numerov explota la estructura especial de la ecuación de Schrödinger, sin término de primera derivada, para lograr una alta precisión de orden a bajo costo al integrar la función de onda.

Diagonalización matricial del hamiltoniano

La representación del hamiltoniano en una cuadrícula o en una base finita produce una matriz cuyos valores propios son los niveles de energía y cuyos vectores propios son las funciones de onda discretizadas, encontradas por solucionadores de valores propios estándar.

Clinical relevance

La resolución de la ecuación de Schrödinger estacionaria proporciona los niveles de energía atómicos y moleculares, los espectros de pozos cuánticos y nanoestructuras, y los orbitales de una sola partícula que alimentan los cálculos de estructura electrónica.

History

La integración numérica de la ecuación de Schrödinger siguió poco después de su formulación en 1926, con el método de Numerov, originalmente ideado para la mecánica celeste, convirtiéndose en un elemento básico; el crecimiento de las computadoras hizo de la diagonalización completa del hamiltoniano la alternativa rutinaria.

Key figures

• Boris Numerov
• Erwin Schrodinger
• Jos Thijssen

Seminal works

• thijssen2007
• giordano2006

Frequently asked questions

¿Cuándo se debe usar el método de disparo en lugar de la diagonalización matricial?

El método de disparo es natural y preciso para problemas unidimensionales o radiales donde se busca un solo valor propio a la vez. La diagonalización matricial es más conveniente cuando se necesitan muchos niveles a la vez o en dimensiones superiores donde el método de disparo se vuelve más complicado.

¿Por qué se prefiere el método de Numerov para esta ecuación?

La ecuación de Schrödinger no tiene un término de primera derivada, lo que el esquema de Numerov está específicamente diseñado para explotar, proporcionando una precisión de cuarto orden con poco trabajo adicional en comparación con un integrador básico.