Ecuación de Schrödinger dependiente e independiente del tiempo

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo indica a una función de onda cómo evolucionar, y la separación de la dependencia temporal la reduce a la ecuación independiente del tiempo, un problema de valores propios cuyas soluciones son los estados estacionarios con energía definida.

Definition

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo establece que el hamiltoniano genera la evolución temporal de la función de onda, mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es la ecuación de valores propios resultante cuyas soluciones son los estados estacionarios de energía definida.

Scope

El tema abarca la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y la conservación de la probabilidad, la separación de variables para hamiltonianos independientes del tiempo, la ecuación independiente del tiempo como un problema de valores propios de energía, los estados estacionarios y su evolución de fase trivial, la expansión de un estado general en autoestados de energía y el propagador que avanza cualquier estado en el tiempo.

Core questions

• ¿Cómo determina el hamiltoniano la evolución de cualquier estado cuántico?
• ¿Por qué la separación del tiempo del espacio produce un problema de valores propios de energía?
• ¿Qué tienen de especial los estados estacionarios bajo la evolución temporal?
• ¿Cómo se calcula el estado futuro de una superposición arbitraria?

Key concepts

• Operador hamiltoniano
• Estado estacionario
• Valor propio de energía
• Separación de variables
• Conservación de la probabilidad
• Propagador

Key theories

Separación de variables

Cuando el hamiltoniano no tiene una dependencia temporal explícita, las soluciones de la forma función espacial por fase temporal reducen la ecuación completa al problema de valores propios independiente del tiempo, con cada autoestado de energía adquiriendo solo una fase oscilante a medida que pasa el tiempo.

Expansión espectral y el propagador

Cualquier estado inicial puede escribirse como una superposición de autoestados de energía, cada uno evolucionando por su propia fase, de modo que la evolución temporal completa es capturada por un propagador construido a partir del espectro de energía que mapea el estado en un momento dado a cualquier momento posterior.

Clinical relevance

Este par de ecuaciones es el punto de partida para casi todos los cálculos cuánticos: los estados estacionarios proporcionan las líneas espectrales medidas en la espectroscopia atómica y molecular, mientras que la forma dependiente del tiempo rige las transiciones, la dinámica de los paquetes de ondas y el control coherente de los cúbits en la tecnología cuántica.

History

Schrödinger presentó ambas formas de su ecuación en su serie de artículos de 1926, aplicando inmediatamente la ecuación independiente del tiempo al átomo de hidrógeno; Dirac y von Neumann reformularon más tarde la evolución temporal en el lenguaje abstracto de operadores de los propagadores unitarios.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

¿Por qué se le llama estado estacionario si aún evoluciona en el tiempo?

Un estado estacionario adquiere solo una fase oscilante general, que se cancela en cualquier probabilidad de medición o valor esperado, por lo que todas las propiedades observables permanecen constantes en el tiempo, aunque la función de onda misma siga rotando en el plano complejo.

¿Cuándo se puede usar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

Se aplica cuando el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, lo que permite la separación de variables; para potenciales que varían con el tiempo, se debe resolver la ecuación completa dependiente del tiempo o usar la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo.