Cantidades Pivote e Intervalos de Confianza

Una cantidad pivote tiene una distribución que no depende del parámetro desconocido, lo que permite transformar una declaración de probabilidad en un intervalo de confianza.

Definition

Una cantidad pivote es una función de los datos y del parámetro cuya distribución de probabilidad es la misma para cada valor del parámetro; la inversión de una declaración de probabilidad sobre el pivote produce un intervalo de confianza para el parámetro.

Scope

Este tema abarca la definición de una cantidad pivote, el método pivote para construir intervalos de confianza exactos, los pivotes canónicos en modelos de localización-escala y normales, como los pivotes t y chi-cuadrado, la elección de los puntos finales del intervalo para controlar la longitud y la simetría, y los pivotes aproximados de muestra grande que proporcionan intervalos de tipo Wald a partir de la normalidad asintótica.

Core questions

• ¿Qué distingue un pivote de una estadística ordinaria y por qué es esencial una distribución independiente de parámetros?
• ¿Cómo convierte el método pivote una declaración de probabilidad en un intervalo?
• ¿Cuáles son los pivotes estándar para la media y la varianza de una muestra normal?
• ¿Cómo proporcionan los pivotes asintóticos basados en la normalidad intervalos aproximados cuando no se dispone de pivotes exactos?

Key theories

Método pivote

Si un pivote tiene una distribución conocida, la elección de cuantiles que capturen una probabilidad dada y la resolución de las desigualdades resultantes para el parámetro produce un intervalo de confianza con exactamente esa cobertura.

Pivotes asintóticos e intervalos de Wald

Cuando no existe un pivote exacto, un estimador menos el parámetro dividido por su error estándar es aproximadamente normal estándar en muestras grandes, lo que produce el familiar intervalo de confianza de estimación más/menos margen.

Clinical relevance

El método pivote produce el intervalo t para una media y el intervalo chi-cuadrado para una varianza que se reportan en toda la investigación aplicada, mientras que los pivotes asintóticos dan los intervalos de estimación más/menos margen utilizados para proporciones, coeficientes de regresión y estimaciones de encuestas.

History

La derivación de Gosset en 1908 de la distribución t bajo el seudónimo Student proporcionó el primer pivote exacto para la media normal, y la teoría de confianza de Neyman de 1937 situó la construcción pivote dentro de un marco frecuentista general.

Key figures

• Jerzy Neyman
• William Sealy Gosset
• Ronald A. Fisher
• George Casella

Seminal works

• casella2002

Frequently asked questions

¿Qué hace que una cantidad sea pivote?

Su distribución debe ser exactamente la misma para cada valor del parámetro desconocido; solo entonces se pueden elegir los cuantiles sin conocer el parámetro, lo que permite un intervalo con cobertura garantizada.

¿Son exactos los intervalos de Wald?

No. Se basan en la normalidad asintótica del estimador y, por lo tanto, solo tienen una cobertura aproximada en muestras finitas, lo que puede ser deficiente para muestras pequeñas o parámetros cercanos a un límite, como una proporción cercana a cero o uno.