Integración Numérica en Estadística
La integración numérica en estadística evalúa las integrales que definen las verosimilitudes marginales, las expectativas posteriores y las constantes de normalización cuando esas integrales no tienen una forma cerrada.
Definition
La integración numérica en estadística es el uso de reglas de cuadratura deterministas y aproximaciones analíticas para evaluar las integrales que surgen en la inferencia bayesiana y basada en la verosimilitud, particularmente las verosimilitudes marginales y los momentos posteriores.
Scope
Este tema cubre la cuadratura determinista adaptada a los integrandos estadísticos, incluyendo las reglas de Gauss-Hermite para integrar efectos aleatorios normales, la cuadratura adaptativa y la aproximación de Laplace para integrales dominadas por un pico pronunciado. Complementa la integración de Monte Carlo, que se trata en los métodos de Monte Carlo, al centrarse en esquemas deterministas de baja dimensión.
Core questions
- ¿Cómo se integran los efectos aleatorios de una verosimilitud utilizando la cuadratura gaussiana?
- ¿Cuándo supera la cuadratura adaptativa a las reglas fijas para los integrandos estadísticos?
- ¿Cómo explota la aproximación de Laplace un integrando con un pico pronunciado?
- ¿Cuándo son preferibles los métodos de cuadratura determinista a la integración de Monte Carlo?
Key concepts
- Cuadratura de Gauss-Hermite
- Cuadratura adaptativa
- Aproximación de Laplace
- Verosimilitud marginal
- Constante de normalización
Key theories
- Cuadratura de Gauss-Hermite para efectos aleatorios
- Las integrales contra una densidad normal, como las que marginalizan los efectos aleatorios en modelos mixtos, se evalúan eficientemente mediante las reglas de Gauss-Hermite, con versiones adaptativas que centran los nodos cerca del modo del integrando.
- Aproximación de Laplace
- La aproximación de un integrando con un pico pronunciado mediante una gaussiana alrededor de su modo produce una estimación de forma cerrada de la integral, precisa cuando el pico domina, y subyace a la inferencia aproximada rápida para muchos modelos jerárquicos.
Clinical relevance
El ajuste de modelos lineales generalizados mixtos, el cálculo de factores de Bayes y la obtención de resúmenes posteriores requieren la evaluación de integrales intratables; la cuadratura determinista y la aproximación de Laplace proporcionan alternativas rápidas y precisas a la simulación para integrales de baja dimensión.
History
La cuadratura clásica y el método de Laplace para aproximar integrales fueron adaptados por los estadísticos para la computación de verosimilitud y bayesiana, con la cuadratura adaptativa de Gauss-Hermite y la aproximación de Laplace convirtiéndose en herramientas estándar para modelos mixtos y jerárquicos.
Key figures
- John Monahan
- Kenneth Lange
- Pierre-Simon Laplace
Related topics
Seminal works
- monahan2011
- lange2010
Frequently asked questions
- ¿Cuándo debo usar la cuadratura en lugar de Monte Carlo para una integral estadística?
- Para integrales de baja dimensión con integrandos suaves, la cuadratura determinista converge mucho más rápido y proporciona una respuesta determinista. Monte Carlo se vuelve preferible a medida que la dimensión aumenta, donde las cuadrículas de cuadratura se vuelven poco prácticas.
- ¿Para qué es buena la aproximación de Laplace?
- Proporciona una aproximación rápida de forma cerrada a integrales dominadas por un único pico pronunciado, como las verosimilitudes marginales en modelos bien identificados. Es precisa cuando el integrando es aproximadamente gaussiano cerca de su modo.