Integración numérica
La integración numérica, o cuadratura, aproxima integrales definidas mediante sumas ponderadas de valores de funciones, proporcionando valores precisos cuando no se dispone de una antiderivada o el integrando se conoce solo en puntos de muestreo.
Definition
La integración numérica es la aproximación de una integral definida mediante una combinación ponderada finita de valores del integrando, denominada regla de cuadratura, junto con el análisis de su precisión.
Scope
Esta área abarca las reglas de cuadratura interpolatoria construidas mediante la integración de interpolantes polinómicos (Newton-Cotes), las reglas gaussianas de grado óptimo basadas en polinomios ortogonales, los esquemas compuestos y adaptativos que controlan el error automáticamente, y el análisis de errores que rige la precisión y la convergencia; la integración multidimensional se trata como una extensión de estos fundamentos unidimensionales.
Sub-topics
Core questions
- ¿Cómo se construyen las reglas de cuadratura a partir de la interpolación polinómica y qué determina su precisión?
- ¿Cuál es el grado de exactitud de una regla y cómo las reglas gaussianas lo maximizan para un número dado de puntos?
- ¿Cómo controlan el error las estrategias compuestas y adaptativas en un intervalo?
- ¿Cómo rige la suavidad del integrando la tasa de convergencia de una regla de cuadratura?
Key theories
- Cuadratura interpolatoria
- La integración del polinomio que interpola el integrando en nodos elegidos produce una regla de cuadratura cuyos pesos son integrales de las funciones base de Lagrange; la regla es exacta para todos los polinomios hasta el grado de interpolación.
- Cuadratura gaussiana y polinomios ortogonales
- La elección de los nodos como las raíces de polinomios ortogonales produce una regla de n puntos exacta para polinomios hasta el grado 2n-1, el máximo posible, vinculando la cuadratura óptima con la teoría de los polinomios ortogonales.
- Control de error adaptativo
- La comparación de estimaciones de reglas de diferentes órdenes o de subdivisiones refinadas produce una estimación de error que impulsa la subdivisión automática, concentrando el esfuerzo donde el integrando varía rápidamente.
Clinical relevance
La cuadratura se requiere dondequiera que las integrales no puedan evaluarse en forma cerrada: calculando expectativas y constantes de normalización en probabilidad y estadística, evaluando integrales de elementos en métodos de elementos finitos, sumando contribuciones radiativas y de fuerza en simulaciones físicas, y valorando instrumentos en finanzas computacionales; la elección de la regla equilibra la precisión con el número de evaluaciones del integrando (a menudo costosas).
History
Las reglas interpolatorias clásicas se remontan a Newton y Cotes, mientras que Gauss introdujo su cuadratura de grado óptimo en 1814; la era de la computación añadió algoritmos adaptativos automáticos y bibliotecas de software de alta calidad, y renovó la atención al condicionamiento y la estabilidad de la cuadratura para integrandos difíciles.
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Philip J. Davis
Related topics
Seminal works
- davis1984
- quarteroni2007
Frequently asked questions
- ¿Cuándo se necesita la integración numérica en lugar de encontrar una antiderivada?
- Muchos integrandos no tienen una antiderivada expresable en funciones elementales, y en la práctica el integrando puede estar disponible solo como datos o como salida de una simulación. En ambos casos, una regla de cuadratura estima la integral directamente a partir de los valores de la función.
- ¿Por qué la cuadratura gaussiana es tan eficiente?
- Al colocar óptimamente tanto los nodos como los pesos, una regla gaussiana de n puntos integra polinomios hasta el grado 2n-1 exactamente —el doble del grado de una regla de Newton-Cotes con el mismo número de puntos—, por lo que logra una alta precisión con pocas evaluaciones de función para integrandos suaves.