Integración Monte Carlo
La integración Monte Carlo estima una integral definida como el promedio del integrando sobre puntos de muestra aleatorios, reformulando la integración como la estimación de una esperanza.
Definition
La integración Monte Carlo es la aproximación de una integral escribiéndola como la esperanza de una función bajo una distribución de muestreo y estimando esa esperanza mediante la media muestral sobre extracciones de la distribución.
Scope
Este tema cubre la representación de una integral como una esperanza, el estimador Monte Carlo simple (crudo) y su insesgadez, la tasa de convergencia de raíz de n y su independencia de la dimensión, la estimación de errores a través de la desviación estándar de la muestra, y la comparación con la cuadratura determinista. Los refinamientos de reducción de varianza se tratan como extensiones cubiertas en otros lugares.
Core questions
- ¿Cómo se expresa una integral arbitraria como una esperanza adecuada para el muestreo?
- ¿Por qué el estimador Monte Carlo crudo es insesgado y consistente?
- ¿Qué rige la tasa de error de raíz de n y por qué es independiente de la dimensión?
- ¿Cuándo supera la integración Monte Carlo a la cuadratura determinista?
Key concepts
- Estimador Monte Carlo crudo
- Insesgadez
- Error estándar
- Independencia de la dimensión
- Densidad de muestreo
Key theories
- Integral como esperanza
- Escribir una integral como la esperanza del integrando dividido por una densidad de muestreo convierte la integración en la estimación de una media, que el promedio de la muestra estima sin sesgo.
- Tasa de convergencia y estimación de errores
- El teorema del límite central proporciona un error estándar proporcional a uno sobre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, independiente de la dimensión de la integral, y la desviación estándar empírica de los sumandos proporciona una estimación de error utilizable.
Clinical relevance
La integración Monte Carlo calcula constantes de normalización, esperanzas posteriores, verosimilitudes marginales y esperanzas de alta dimensión que surgen en estadística y en las ciencias físicas; su tasa de error independiente de la dimensión la convierte en el método de elección cuando la cuadratura basada en cuadrículas se vuelve inviable.
History
La idea de estimar integrales mediante muestreo se remonta a los cálculos de Los Álamos de la década de 1940 y al artículo de 1949 de Metropolis y Ulam; se convirtió en una práctica rutinaria a medida que crecía la capacidad informática y a medida que los estadísticos reconocían su ventaja sobre la cuadratura en altas dimensiones.
Key figures
- Stanislaw Ulam
- Nicholas Metropolis
- Christian P. Robert
Related topics
Seminal works
- robert2004
- metropolis1949
Frequently asked questions
- ¿Qué tan precisa es la integración Monte Carlo?
- Su error disminuye como uno sobre la raíz cuadrada del número de muestras, por lo que cuadruplicar el tamaño de la muestra reduce el error a la mitad. El estimador también incluye una estimación de error incorporada a partir de la desviación estándar de la muestra de los valores del integrando.
- ¿Cuándo debo preferir Monte Carlo sobre la cuadratura estándar?
- Para integrales suaves de baja dimensión, la cuadratura determinista generalmente converge más rápido. Monte Carlo gana en altas dimensiones, donde el costo de una cuadrícula crece exponencialmente, pero la tasa de error de Monte Carlo se mantiene igual.