Integración de Lebesgue

La integral de Lebesgue define la integral de una función medible aproximándola con funciones simples ponderadas por una medida, lo que produce una integral que interactúa robustamente con los límites.

Definition

La integración de Lebesgue define la integral de una función medible no negativa como el supremo de las integrales de funciones simples por debajo de ella, y la extiende a funciones con signo y complejas integrando las partes positivas y negativas, produciendo una integral definida con respecto a cualquier medida.

Scope

Este tema cubre las funciones simples y la integral de funciones medibles no negativas, la integral de funciones generales y de valores complejos, el teorema de convergencia monótona, el lema de Fatou, el teorema de convergencia dominada, las afirmaciones de casi todas partes y la comparación con la integral de Riemann.

Core questions

• ¿Cómo se construye la integral a partir de funciones simples y una medida?
• ¿Bajo qué condiciones se puede mover un límite dentro de una integral?
• ¿Qué significa que una propiedad se cumpla casi en todas partes, y por qué es la noción correcta?
• ¿Cómo se relaciona y extiende la integración de Lebesgue a la integral de Riemann?

Key theories

Teorema de convergencia monótona y lema de Fatou

Para funciones medibles no negativas, la integral de un límite creciente es el límite de las integrales, y en general la integral de un liminf no excede el liminf de las integrales, las herramientas básicas para pasar límites a través de integrales.

Teorema de convergencia dominada

Si las funciones convergen casi en todas partes y están acotadas en tamaño por una función integrable fija, el límite de sus integrales es igual a la integral del límite, el teorema de intercambio más utilizado de la integración.

Clinical relevance

La integral de Lebesgue es la esperanza de la teoría de la probabilidad y la integral subyacente al análisis de Fourier y funcional; sus teoremas de convergencia justifican el intercambio de límites, sumas e integrales en las derivaciones en física, estadística y matemáticas aplicadas, y hacen que los espacios de funciones Lp sean completos.

History

Lebesgue definió su integral en 1902, y los teoremas de convergencia se establecieron poco después, con el lema de Fatou apareciendo en su trabajo de 1906 sobre series y el teorema de convergencia monótona de Levi en 1906. Estos resultados dieron al análisis su integral moderna, amigable con los límites.

Key figures

• Henri Lebesgue
• Pierre Fatou
• Beppo Levi

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

¿Qué significa casi en todas partes?

Una afirmación se cumple casi en todas partes si el conjunto donde falla tiene medida cero; la integral de Lebesgue no puede detectar cambios en dichos conjuntos, por lo que las funciones iguales casi en todas partes tienen la misma integral.

¿Por qué los teoremas de convergencia son la principal ventaja?

Los teoremas de convergencia monótona y dominada permiten mover los límites dentro de las integrales bajo hipótesis leves, que es precisamente la flexibilidad de la que carece la integral de Riemann y de la que dependen la probabilidad y el análisis.