Sigma-Álgebras y Medidas

Una sigma-álgebra fija qué conjuntos pueden medirse, y una medida asigna a cada uno de ellos un tamaño consistente; juntos forman el espacio medible sobre el cual se construye toda la teoría de la integración.

Definition

Una sigma-álgebra es una colección de subconjuntos cerrados bajo complementos y uniones contables, y una medida es una función de conjunto no negativa y contablemente aditiva sobre una sigma-álgebra; el par forma un espacio de medida que generaliza la longitud, el área, el volumen y la probabilidad.

Scope

Este tema abarca las sigma-álgebras y la sigma-álgebra de Borel generada por conjuntos abiertos, funciones medibles, los axiomas de una medida con aditividad contable, medidas exteriores y la construcción de Caratheodory, la construcción de la medida de Lebesgue, la completitud y los conjuntos nulos, y la continuidad de las medidas a lo largo de secuencias monótonas.

Core questions

• ¿Qué colecciones de conjuntos pueden soportar una noción consistente de tamaño?
• ¿Cómo se construye la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano a partir de una medida exterior?
• ¿Qué aporta la aditividad contable que la aditividad finita no puede?
• ¿Por qué no se puede definir una medida en absolutamente cada subconjunto?

Key theories

Teorema de extensión de Caratheodory

Una medida exterior se restringe a una medida genuina contablemente aditiva en la sigma-álgebra de sus conjuntos medibles, la construcción que produce la medida de Lebesgue y medidas en espacios abstractos a partir de funciones de conjunto más simples.

Existencia de conjuntos no medibles

Asumiendo el axioma de elección, existen subconjuntos de la recta real a los que ninguna medida contablemente aditiva invariante por traslación puede asignar un tamaño, razón por la cual se requiere una sigma-álgebra en lugar de todos los subconjuntos.

Clinical relevance

Los espacios de medida son el fundamento formal de la teoría de la probabilidad, donde la sigma-álgebra codifica los eventos observables y la medida es la distribución de probabilidad; el mismo marco soporta la integración, el tratamiento riguroso de la aleatoriedad en estadística y finanzas, y la definición de espacios de funciones en análisis.

History

Borel introdujo la sigma-álgebra de conjuntos construidos a partir de intervalos alrededor de 1898, y Lebesgue definió la medida en la línea en 1902. El método de medida exterior de Caratheodory generalizó la construcción a espacios abstractos, y el ejemplo de Vitali de 1905 exhibió un conjunto no medible.

Key figures

• Constantin Caratheodory
• Emile Borel
• Henri Lebesgue

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

¿Por qué no simplemente medir cada subconjunto de la línea?

Usando el axioma de elección se pueden construir conjuntos, como los conjuntos de Vitali, a los que no se les puede asignar un tamaño consistente con la invarianza por traslación y la aditividad contable, por lo que la medición se restringe a una sigma-álgebra.

¿Cuál es el papel de la aditividad contable?

La aditividad contable, que la medida de una unión disjunta contable es la suma de las medidas, es lo que permite que las medidas interactúen bien con los límites y hace posibles los teoremas de convergencia de la integración.