Espacios Lp

Los espacios Lp agrupan funciones cuya p-ésima potencia es integrable, formando espacios normados completos que sirven de puente entre la teoría de la medida y el análisis funcional.

Definition

Para un espacio de medida y un exponente p de al menos uno, el espacio Lp consiste en clases de equivalencia de funciones medibles cuyo valor absoluto elevado a la potencia p tiene una integral finita, normalizado por la raíz p-ésima de esa integral.

Scope

Este tema abarca la norma Lp y la identificación de funciones iguales casi en todas partes, las desigualdades de Hölder y Minkowski, la completitud de Lp expresada por el teorema de Riesz-Fischer, el caso especial de espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable, la dualidad entre exponentes conjugados y la densidad de funciones simples y continuas.

Core questions

• ¿Por qué los elementos de Lp deben ser clases de equivalencia de funciones en lugar de funciones?
• ¿Qué desigualdades hacen de la norma Lp una norma genuina y controlan los productos de funciones?
• ¿Por qué cada espacio Lp es completo y por qué es importante?
• ¿Cómo se identifican los duales de los espacios Lp a través de exponentes conjugados?

Key theories

Desigualdades de Hölder y Minkowski

La desigualdad de Hölder acota la integral de un producto por el producto de las normas Lp en exponentes conjugados, y la desigualdad de Minkowski establece la desigualdad triangular para la norma Lp, las dos estimaciones que hacen de Lp un espacio normado.

Teorema de completitud de Riesz-Fischer

Cada espacio Lp es completo, por lo que es un espacio de Banach y, para el exponente dos, un espacio de Hilbert; la completitud es lo que vincula la teoría de la medida con el análisis funcional y subyace a las expansiones de Fourier.

Clinical relevance

Los espacios Lp son el entorno natural para señales de energía finita y potencia finita, para la formulación variacional de ecuaciones diferenciales parciales a través de espacios de Sobolev, y para la probabilidad y la estadística, donde el espacio de variables aleatorias de cuadrado integrable conlleva la geometría subyacente a la varianza, la correlación y la estimación por mínimos cuadrados.

History

Riesz y Fischer demostraron independientemente la completitud de las funciones de cuadrado integrable en 1907, un resultado que pronto se extendió a exponentes generales. Los espacios Lp se convirtieron en los prototipos de espacios de Banach en el desarrollo del análisis funcional por Riesz y Banach.

Key figures

• Frigyes Riesz
• Ernst Fischer
• Otto Holder

Seminal works

• folland1999
• brezis2011

Frequently asked questions

¿Por qué los elementos de Lp son clases de equivalencia en lugar de funciones?

La norma Lp no puede distinguir funciones que difieren solo en un conjunto de medida cero, por lo que para obtener una norma genuina se identifican las funciones que concuerdan casi en todas partes y se trabaja con las clases de equivalencia resultantes.

¿Qué tiene de especial el caso p igual a dos?

El espacio de funciones de cuadrado integrable es un espacio de Hilbert, el único espacio Lp con un producto interno, lo que le confiere ortogonalidad y proyección y lo convierte en el hogar del análisis de Fourier y los estados cuánticos.