Teorema del Límite Central

El teorema del límite central establece que la suma de muchas variables aleatorias independientes, una vez centrada y reescalada, tiene una distribución aproximadamente normal, independientemente de la forma de las variables individuales, razón por la cual la curva de campana aparece en toda la ciencia.

Definition

El teorema del límite central establece que para variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con media y varianza finitas, la suma estandarizada converge en distribución a la ley normal estándar a medida que el número de términos crece.

Scope

El tema abarca el teorema clásico del límite central para variables independientes idénticamente distribuidas con varianza finita, las condiciones de Lindeberg y Lyapunov para arreglos triangulares de variables independientes, el método de prueba de la función característica, la cota de Berry-Esseen sobre la tasa de convergencia y la extensión a límites estables no gaussianos cuando la varianza es infinita.

Core questions

• ¿Por qué la distribución normal es el límite universal de las sumas estandarizadas?
• ¿Qué condiciones, como la de Lindeberg, se necesitan cuando los sumandos no están idénticamente distribuidos?
• ¿Qué tan rápido se aproxima la distribución de una suma normalizada a la ley normal?
• ¿Qué reemplaza el límite normal cuando la varianza es infinita?

Key concepts

• convergencia en distribución
• condición de Lindeberg
• condición de Lyapunov
• tasa de Berry-Esseen
• límites estables

Key theories

Teorema clásico del límite central

Para variables independientes idénticamente distribuidas con varianza finita, la suma menos su media y dividida por la raíz cuadrada del número de términos por la desviación estándar converge en distribución a la normal estándar, probado limpiamente por funciones características.

Teorema de Lindeberg-Feller

Para arreglos triangulares de variables independientes, la condición de Lindeberg, que ningún término individual contribuya con una parte no despreciable de la varianza, es suficiente y esencialmente necesaria para la normalidad asintótica, dando al teorema su forma clásica más general.

Cota de Berry-Esseen

Cuando existe un tercer momento finito, el error máximo de la aproximación normal a la distribución de una suma estandarizada está acotado por una constante multiplicada por el tercer momento absoluto dividido por la varianza elevada a la potencia de tres medios y la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

Clinical relevance

El teorema del límite central es la piedra angular de la inferencia estadística: justifica la aproximación normal detrás de los intervalos de confianza, las pruebas z y t, y la distribución asintótica de los estimadores, y explica por qué los errores de medición y las cantidades agregadas en todas las ciencias son tan a menudo aproximadamente gaussianas.

History

De Moivre y Laplace encontraron la aproximación normal a la binomial en el siglo XVIII. Lyapunov dio la primera prueba general rigurosa usando momentos, Lindeberg proporcionó la condición definitiva, y Feller demostró que era esencialmente necesaria, mientras que Berry y Esseen cuantificaron la tasa de convergencia.

Key figures

• Abraham de Moivre
• Pierre-Simon Laplace
• Aleksandr Lyapunov
• Jarl Waldemar Lindeberg

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

¿El teorema del límite central requiere que los sumandos estén distribuidos normalmente?

No; lo notable es que las variables individuales pueden tener casi cualquier distribución con varianza finita, y su suma estandarizada tiende a la ley normal a medida que el número de términos crece.

¿Qué tan grande debe ser la muestra para que la aproximación normal sea buena?

No hay una respuesta universal; la cota de Berry-Esseen muestra que el error depende del tercer momento y disminuye como uno sobre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, por lo que los sumandos asimétricos o con colas pesadas requieren muestras más grandes para una buena aproximación.