Leyes de los Grandes Números

Las leyes de los grandes números establecen que el promedio de muchas observaciones independientes de una cantidad aleatoria converge a su valor esperado, dando contenido matemático a la intuición de que las frecuencias a largo plazo se estabilizan.

Definition

Las leyes de los grandes números afirman que el promedio muestral de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con una media finita converge a esa media, en probabilidad para la ley débil y casi con seguridad para la ley fuerte.

Scope

El tema abarca la ley débil de los grandes números demostrada por la desigualdad de Chebyshev y por truncamiento, la ley débil de Khinchin bajo solo una media finita, la ley fuerte de los grandes números de Kolmogorov con su desigualdad maximal y el teorema de las tres series, la distinción entre convergencia en probabilidad y convergencia casi segura, y el fallo de las leyes para variables sin una media finita.

Core questions

• ¿En qué sentido preciso se aproxima un promedio muestral a la media verdadera a medida que la muestra crece?
• ¿Cuál es la diferencia entre las leyes débil y fuerte, y qué hipótesis necesita cada una?
• ¿Qué desigualdades y descomposiciones hacen que la ley fuerte sea demostrable?
• ¿Qué sucede cuando la distribución subyacente no tiene una media finita?

Key concepts

• convergencia en probabilidad
• convergencia casi segura
• desigualdad de Chebyshev
• método de truncamiento
• teorema de las tres series de Kolmogorov

Key theories

Ley débil de los grandes números

Para variables independientes idénticamente distribuidas con media finita, el promedio muestral converge a la media en probabilidad, un resultado obtenible de la desigualdad de Chebyshev cuando la varianza es finita y de argumentos de truncamiento bajo la hipótesis más débil de Khinchin.

Ley fuerte de los grandes números de Kolmogorov

Para variables independientes idénticamente distribuidas, una media finita es necesaria y suficiente para que el promedio muestral converja a la media casi con seguridad, la forma definitiva de la ley y la base para la interpretación de la frecuencia de la probabilidad.

Clinical relevance

La ley fuerte es lo que permite estimar una esperanza mediante una media muestral y subyace a la integración de Monte Carlo, la consistencia de los estimadores en estadística y la interpretación frecuentista de la probabilidad como frecuencia relativa a largo plazo; su fallo para datos de cola pesada advierte contra el promedio de cantidades con media infinita, como ciertas pérdidas de seguros.

History

Bernoulli demostró la primera ley de los grandes números para proporciones binomiales en 1713. Chebyshev proporcionó una prueba simple basada en la varianza, Khinchin debilitó las hipótesis a una media finita, y Kolmogorov estableció la ley fuerte casi segura definitiva junto con la desigualdad maximal y el teorema de las tres series que la demuestran.

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Pafnuty Chebyshev
• Aleksandr Khinchin
• Andrey Kolmogorov

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

¿Cuál es la diferencia entre las leyes débil y fuerte de los grandes números?

La ley débil establece que es probable que el promedio esté cerca de la media para cualquier tamaño de muestra grande fijo, mientras que la ley fuerte establece que con probabilidad uno la secuencia completa de promedios converge a la media; la ley fuerte es la afirmación más definitiva.

¿Puede fallar la ley de los grandes números?

Sí; si la distribución subyacente no tiene una media finita, como la distribución de Cauchy, el promedio muestral no converge a una constante en absoluto, y la ley en su forma habitual no se aplica.